若起诉后判决书未下达时对方死亡，诉讼程序将依法中止或终结，具体处理方式需根据案件性质及继承人参与情况确定。以下从不同角度展开分析：

1. 诉讼程序的中止与恢复
   根据《民事诉讼法》第153条，一方当事人死亡需等待继承人表明是否参加诉讼的，法院应裁定中止诉讼。例如在民间借贷纠纷中，若被告死亡且其遗产尚未分割，法院会暂停审理，待继承人明确是否继承债务后恢复诉讼。若继承人明确表示继承遗产，则诉讼继续，继承人作为新被告参与；若放弃继承，法院可能直接以继承人无责任为由终结诉讼。

2. 诉讼终结的法定情形
   若案件性质属于人身专属型诉讼（如赡养费纠纷、人格权侵权等），因被告死亡导致诉讼标的消灭，法院将直接裁定终结诉讼。例如在名誉权侵权案中，被告死亡后其名誉权随之消亡，原告的诉讼请求失去法律意义，诉讼程序必然终止。

3. 实体权利义务的承继规则
   根据《民法典》第1161条，继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。在合同纠纷中，若被告留有遗产，原告可申请变更继承人为被告，要求其在继承范围内承担责任；若遗产不足以清偿债务，超出部分继承人无需承担。例如被告欠付货款50万元，但遗产仅价值30万元，继承人最多只需偿还30万元。

4. 特殊程序的处理要点
   在刑事附带民事诉讼中，若被告人死亡，法院将终止审理刑事部分，但民事赔偿部分仍可继续。此时需通过特别程序确认继承人范围，例如通过公证文书或法院调解书明确继承人身份。若继承人下落不明，法院可能要求原告提供担保后继续审理，或直接裁定中止等待继承人出现。

实务建议：

• 立即向法院提交《中止诉讼申请书》，附死亡证明及继承关系证据
  
• 申请财产保全防止遗产转移，尤其关注银行账户、房产等核心资产
  
• 若涉及企业债务，需同步查询被告是否为一人公司股东，可能涉及法人人格否认
  
• 定期与法院承办法官沟通，跟进继承人参与诉讼的进展情况
  

具体操作需结合案件类型、遗产状况及继承人态度综合判断，建议携带起诉材料、死亡证明等文件当面分析。