在刑事案件中，公诉机关申请延期审理后，恢复审理并不必须由公诉机关再次申请。这一结论可以从以下几个角度进行详细分析：
一、法律规定与程序要求
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关司法解释，延期审理是诉讼程序中的一种特殊安排，通常用于处理案件中出现的特定情况，如需要补充侦查、需要通知新的证人到庭等。当这些特定情况得到解决后，案件应当恢复审理。法律并未明确规定恢复审理必须由公诉机关申请，而是根据案件进展和实际情况，由法庭决定是否恢复审理。
二、实际操作中的灵活性
在实际操作中，恢复审理的启动可以基于多种情况：
公诉机关主动申请：如果延期审理的原因是由公诉机关提出的，且该原因已经得到解决，公诉机关可以主动向法庭申请恢复审理。
法庭依职权决定：法庭在认为延期审理的原因已经消除，且案件具备继续审理的条件时，可以依职权决定恢复审理，而无需等待公诉机关的申请。
其他诉讼参与人申请：在某些情况下，如果其他诉讼参与人（如被告人、辩护人等）认为延期审理的原因已经消除，也可以向法庭提出恢复审理的申请。
三、恢复审理的考量因素
法庭在决定是否恢复审理时，会综合考虑以下因素：
延期审理的原因是否已经消除：这是恢复审理的前提条件。如果延期审理的原因仍然存在，法庭通常不会恢复审理。
案件进展和实际情况：法庭会评估案件的整体进展和实际情况，包括证据收集、证人出庭等情况，以确定是否具备继续审理的条件。
诉讼参与人的意见：法庭在决定恢复审理时，也会考虑诉讼参与人的意见，特别是被告人和辩护人的意见，以确保诉讼的公正性和合法性。
四、建议与注意事项
对于公诉机关：如果延期审理的原因已经解决，且案件具备继续审理的条件，公诉机关应及时向法庭提出恢复审理的申请，以推动案件的顺利进行。
对于其他诉讼参与人：如果认为延期审理的原因已经消除，且案件需要尽快恢复审理，也可以向法庭提出申请，并说明理由和依据。
关注法庭决定：无论是由谁提出恢复审理的申请，最终决定权都在法庭。因此，所有诉讼参与人都应密切关注法庭的决定，并做好相应的准备。
综上所述，刑事案件中公诉机关申请延期审理后，恢复审理并不必须由公诉机关再次申请。法庭会根据案件进展和实际情况，依职权或根据诉讼参与人的申请决定是否恢复审理。如果你在刑事案件中遇到相关问题，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律意见。