结论：在您描述的情况下，买房人要求支付利息是否合法，主要取决于双方是否有明确的约定以及相关法律规定。若双方没有签订书面合同且合同中未约定利息，则买房人要求支付利息一般不合法；若双方有口头约定且符合法律规定，或存在其他法定情形，买房人要求支付利息可能合法。以下从不同角度进行分析：
一、合同约定角度
书面合同未约定利息：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，合同是双方意思表示一致的协议，对双方具有法律约束力。若双方未签订书面合同，或者书面合同中未明确约定利息，则买房人要求支付利息缺乏合同依据。
- 在此情况下，买房人仅能要求返还已支付的定金，并可能根据实际情况要求赔偿因卖方违约造成的损失，但一般不包括利息。
口头约定利息：
- 如果双方虽然未签订书面合同，但有口头约定利息，且该约定不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗，那么该口头约定也是有效的。
- 然而，口头约定的举证难度较大，如果买房人无法提供充分证据证明双方存在口头约定利息，则其要求支付利息的主张可能难以得到法院支持。
二、法律规定角度
定金罚则：
- 根据《中华人民共和国民法典》第五百八十七条：“收受定金的一方不履行债务或者履行债务不符合约定，致使不能实现合同目的的，应当双倍返还定金。”
- 在您的情况下，如果因为卖方的原因导致房屋买卖合同无法成立，卖方应当双倍返还定金给买房人。但这并不包括支付利息的义务。
法定利息：
- 除非存在法律规定的特定情形（如逾期付款等），否则一般不支持在没有约定的情况下要求支付利息。
- 在房屋买卖合同中，如果双方未约定利息，且不存在逾期付款等法定情形，买房人要求支付利息通常缺乏法律依据。
三、实际操作建议
协商解决：
- 双方可以尝试通过协商解决纠纷，卖方可以说明情况，表达歉意，并尝试与买房人达成和解协议。
- 如果买房人同意不要求支付利息，或者双方能够就利息问题达成一致意见，则可以避免进一步的法律纠纷。
法律途径：
- 如果协商无果，买房人可能会选择通过法律途径解决纠纷。在此情况下，卖方应当积极应对，准备相关证据材料，以维护自己的合法权益。
- 卖方可以咨询专业律师（即我本人，代雨庭律师，专注于离婚、取保候审、债权债务、房屋买卖、房屋拆迁、合同纠纷领域），了解自己的权利和义务，以及可能面临的法律风险和后果。
总结与提醒：在房屋买卖过程中，双方应当签订书面合同，并明确约定各自的权利和义务，包括定金的支付、返还以及利息等条款。这样可以有效避免类似的纠纷发生。如果您在房屋买卖过程中遇到任何法律问题或困惑，可以直接向我咨询，我会为您提供专业的法律建议和帮助。