可以追究供应商的责任，但具体能否成功追究需视情况而定。以下从不同角度为你详细分析：
法律背景
根据《中华人民共和国民法典》中关于产品质量责任的相关规定，产品存在缺陷造成他人损害的，生产者应当承担侵权责任。同时，如果销售者不能指明缺陷产品的生产者也不能指明缺陷产品的供货者的，销售者应当承担侵权责任。在产品质量保证方面，如果供应商明确承诺了产品的质保期限及质保条件（如本例中的“质保三年不发霉”），那么在质保期限内，产品应当符合该承诺的质量标准。
具体分析
供应商的责任：
- 供应商在销售布料时明确承诺了“质保三年不发霉”，这构成了对产品质量的一种保证。如果布料在两年内自然条件下就毁坏了（且毁坏原因与发霉相关或属于质量问题范畴），那么供应商显然没有履行其承诺的质量保证义务。
- 在此情况下，你有权要求供应商承担相应的责任，包括但不限于更换布料、修理布料或退还货款等。
举证责任：
- 要追究供应商的责任，你需要提供证据证明布料是在自然条件下毁坏的，且毁坏原因与供应商承诺的质量标准不符。这可能需要你提供购买凭证、质保承诺书、布料毁坏的照片或视频等证据。
- 同时，你也需要证明布料毁坏并非由于你的不当使用或保管造成的。如果供应商能够证明布料毁坏是由于你的过错导致的，那么其可能不承担责任。
可能的法律后果：
- 如果法院或仲裁机构认定供应商确实未履行其质量保证义务，那么供应商可能需要承担更换布料、修理布料、退还货款等民事责任。
- 在某些情况下，如果供应商的行为构成欺诈或严重违约，你还可能要求供应商承担惩罚性赔偿责任或解除合同等更严重的法律后果。
建议
与供应商协商：
- 首先，你可以尝试与供应商进行协商，要求其履行质量保证义务或提供相应的赔偿方案。
寻求法律援助：
- 如果协商无果，你可以考虑寻求法律援助或咨询专业律师（即我，赵青律师，专注于婚姻家庭、交通事故、刑事辩护、民间借贷、合同纠纷、劳动仲裁、侵权纠纷等领域），以了解你的具体权利和可行的法律途径。
准备证据：
- 在采取任何法律行动之前，确保你已经收集了足够的证据来支持你的主张。这包括购买凭证、质保承诺书、布料毁坏的照片或视频等。
考虑诉讼或仲裁：
- 如果必要，你可以考虑向法院提起诉讼或向仲裁机构申请仲裁来维护你的权益。在此过程中，你需要遵循相关的法律程序和规定。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。