结论：私自屠宰牛羊且没有检疫合格证的行为，农业农村局作为主管部门，其监管和处罚的法律依据主要来源于《中华人民共和国动物防疫法》等相关法律法规。

详细分析：

1. 农业农村局的监管职责：

   • 农业农村局作为动物防疫工作的主管部门，负责监督和管理动物屠宰、检疫等环节，确保动物产品的安全和质量。对于私自屠宰且未经过检疫的行为，农业农村局有责任进行查处。

2. 法律依据：

   • 《中华人民共和国动物防疫法》：该法明确规定了动物屠宰、检疫等环节的监管要求和法律责任。其中，对于未经检疫擅自屠宰动物的行为，农业农村局有权进行处罚，包括罚款、没收违法所得、责令停业整顿等。具体条款可能涉及该法的第九十七条：“违反本法规定，屠宰、经营、运输的动物未附有检疫证明，经营和运输的动物产品未附有检疫证明、检疫标志的，由县级以上地方人民政府农业农村主管部门责令改正，处同类检疫合格动物、动物产品货值金额一倍以下罚款；对货主以外的承运人处运输费用三倍以上五倍以下罚款，情节严重的，处五倍以上十倍以下罚款。”以及第九十八条：“违反本法规定，有下列行为之一的，由县级以上地方人民政府农业农村主管部门责令改正，处三千元以上三万元以下罚款；情节严重的，责令停业整顿，并处三万元以上十万元以下罚款：……（七）未按照规定处理或者随意弃置病死动物、病害动物产品的；……（此处虽未直接提及私自屠宰，但私自屠宰往往伴随未按规定处理病害动物产品等行为，且该条为兜底性条款，可涵盖其他违反动物防疫规定的行为）”。在实际操作中，对于私自屠宰且未检疫的行为，通常会依据类似条款进行处罚，具体条款可能因地区和案件情况而有所差异。
   • 其他相关法规：除了《中华人民共和国动物防疫法》外，还可能涉及地方性的动物防疫条例或规章，这些地方性法规可能对私自屠宰行为有更具体的规定和处罚措施。

3. 法律后果：

   • 对于私自屠宰牛羊且没有检疫合格证的行为，一旦被农业农村局查处，将面临罚款、没收违法所得、责令停业整顿等处罚。如果情节严重，还可能构成犯罪，依法追究刑事责任。

4. 建议：

   • 如果你或他人涉及私自屠宰牛羊且没有检疫合格证的行为，建议立即停止该行为，并主动向农业农村局报告，配合调查和处理。
   • 对于已经发生的私自屠宰行为，应尽快补办检疫手续，确保动物产品的安全和质量。
   • 在未来的经营活动中，应严格遵守动物防疫法律法规，确保所有屠宰活动都经过合法检疫，避免类似问题的再次发生。

进一步思考：

• 私自屠宰牛羊且没有检疫合格证的行为不仅违反了法律法规，还可能对公共卫生安全造成威胁。因此，加强动物防疫监管，打击私自屠宰行为，是保障人民群众身体健康和生命安全的重要举措。
• 作为经营者或消费者，应增强法律意识，了解并遵守相关法律法规，共同维护良好的市场秩序和公共卫生安全。

如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。