结论：离职证明的开具与项目经理是否有责任，需根据具体情况判断，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：
一、离职证明的开具责任主体
公司责任：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条的规定，用人单位应当在解除或者终止劳动合同时出具解除或者终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。因此，开具离职证明是公司的法定义务，而非项目经理的个人责任。
项目经理的角色：
- 项目经理作为公司员工，通常负责项目的日常管理和执行，但并不直接负责人力资源或行政事务，如开具离职证明。除非项目经理被公司明确授权或指定负责此项工作，否则其个人对离职证明的开具不承担直接责任。
二、项目经理可能承担责任的情况
故意或重大过失：
- 如果项目经理在离职过程中存在故意或重大过失，如故意拖延、拒绝开具离职证明，或开具的离职证明内容不实等，导致劳动者遭受损失的，项目经理可能因个人行为而承担相应的法律责任。但这种情况较为少见，且需要具体证据支持。
公司授权或指定：
- 如果公司明确授权或指定项目经理负责开具离职证明，且项目经理未履行职责或履行不当的，项目经理可能因违反公司规定或授权而承担内部责任，如纪律处分或赔偿公司损失等。但这属于公司内部管理范畴，与劳动者直接的法律关系不大。
三、劳动者的权益保护
要求公司开具离职证明：
- 如果劳动者已离职但公司未开具离职证明的，劳动者有权要求公司开具。公司拒绝开具的，劳动者可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
因未开具离职证明遭受损失的赔偿：
- 如果劳动者因公司未开具离职证明而遭受损失的（如无法入职新公司、无法领取失业保险金等），劳动者有权要求公司赔偿损失。赔偿范围通常包括实际损失和预期利益损失等。
四、建议与总结
- 对于劳动者：如果公司未开具离职证明或项目经理拒绝协助开具的，建议劳动者首先与公司沟通协商；协商无果的，可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁以维护自身权益。
- 对于项目经理：除非被公司明确授权或指定负责开具离职证明的工作，否则无需对此承担直接责任。但应积极配合公司完成离职手续，避免不必要的纠纷和法律风险。
总结：离职证明的开具是公司的法定义务，项目经理通常不直接承担此责任。但在特定情况下（如故意或重大过失、公司授权或指定等），项目经理可能因个人行为或违反公司规定而承担相应责任。劳动者应了解自身权益并积极维护，项目经理也应遵守公司规定和法律法规以避免纠纷。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。