如果刑事拘留期间被拘留人逃跑，这确实是一个严重的法律问题，需要从多个方面来应对和处理。以下是我为您详细梳理的应对措施和可能面临的法律后果：
一、立即报警并启动追捕程序
公安机关的迅速响应：
- 一旦发现被拘留人逃跑，看守所或拘留所应立即向当地公安机关报告。
- 公安机关会迅速启动追捕程序，组织专门的警力进行搜捕，并可能根据情况发布通缉令，借助社会资源和媒体力量来协助追捕工作。
多部门协作：
- 公安机关在追捕过程中，可能会与其他执法部门如交通警察、边防检查站等进行紧密合作，共同追踪和拦截逃跑的被拘留人。
二、调查逃跑原因与责任追究
内部调查机制：
- 看守所或拘留所会开展内部调查，以查明逃跑事件的具体原因，这包括是否存在管理上的漏洞、工作人员是否失职等问题。
责任追究与处罚：
- 如果逃跑事件是由于工作人员的疏忽或故意放纵导致的，相关责任人将面临纪律处分，甚至可能承担刑事责任。
- 同时，被拘留人逃跑本身也构成犯罪，一旦被抓获，将面临更为严厉的刑罚。
三、法律后果与刑罚加重
脱逃罪的认定与处罚：
- 根据《中华人民共和国刑法》第三百一十六条的规定，依法被关押的罪犯、被告人、犯罪嫌疑人脱逃的，构成脱逃罪。
- 脱逃罪的处罚为五年以下有期徒刑或者拘役；如果情节严重，如多次逃跑、持械逃跑、造成严重后果等，则处五年以上有期徒刑。
刑罚的加重：
- 逃跑行为不仅会导致新的犯罪指控，还可能对原案件的审理和判决结果产生不利影响。
- 在数罪并罚的情况下，逃跑者将面临更长的刑期和更为严厉的刑罚。
四、加强监管与预防措施
完善管理制度：
- 看守所和拘留所应加强对被拘留人的管理和监督，确保监管设施的安全性和有效性。
- 定期对监管人员进行培训和考核，提高其业务水平和责任意识，以防止类似事件再次发生。
技术防范手段的应用：
- 利用现代科技手段如电子监控、人脸识别、指纹识别等，提高监管效率和准确性。
- 建立完善的应急预案和处置机制，确保在发生逃跑事件时能够迅速响应和处理。
综上所述，如果刑事拘留期间被拘留人逃跑，应立即报警并启动追捕程序，同时调查逃跑原因并追究相关责任。逃跑者将面临脱逃罪的指控和可能的刑罚加重。为了防止类似事件再次发生，看守所和拘留所应加强监管和预防措施。希望这些信息能对您有所帮助。