法定代理人是否有权出售房屋以及该行为是否合法，需分情况讨论：

1. 法定代理人的权限来源

法定代理人通常指依法对无民事行为能力人或限制民事行为能力人（如未成年人、精神病人）享有监护职责的人。根据《民法典》第三十四条，监护人的职责包括代理被监护人实施民事法律行为，保护被监护人的人身权利、财产权利以及其他合法权益。因此，若房屋属于被监护人所有，法定代理人有权代为出售，但需满足“为被监护人利益”这一核心条件。

1. 合法出售的关键条件

   • 利益一致性：出售房屋必须是为了被监护人的利益，例如支付医疗费、教育费或改善居住条件等。若法定代理人将房屋出售用于个人消费或投资，则可能构成滥用代理权，行为无效。
   • 程序合规性：出售前需经法定程序，如未成年人名下房产出售需其监护人共同签署合同，且合同内容需明确体现“为被监护人利益”的条款。若房屋为共有财产（如父母与子女共有），还需其他共有人同意。
   • 价格合理性：交易价格需符合市场行情，避免低价出售损害被监护人利益。若价格明显偏低，可能被认定为显失公平，导致合同无效或可撤销。

2. 违法出售的法律后果

   • 合同效力：若法定代理人未经被监护人利益出售房屋，合同可能被认定为无效或可撤销。被监护人或其他利害关系人（如其他监护人、近亲属）可向法院申请确认合同无效或撤销合同。
   • 责任承担：法定代理人可能需承担赔偿责任，包括返还房屋、赔偿损失等。若行为构成犯罪（如侵占罪、职务侵占罪），还可能面临刑事处罚。

3. 实务建议

   • 保留证据：法定代理人出售房屋时，应保留相关证据（如医疗费发票、教育费凭证等）证明出售行为符合被监护人利益。
   • 公证或审批：部分地区要求监护人出售未成年人房产时需办理公证或经过相关部门审批，建议提前咨询当地不动产登记中心或公证处。
   • 共有人同意：若房屋为共有财产，务必取得其他共有人书面同意，避免后续纠纷。

总结：法定代理人有权代为出售被监护人名下的房屋，但必须严格遵守“为被监护人利益”的原则，并履行法定程序。若违反上述条件，行为可能无效，甚至需承担法律责任。如有具体案件或进一步疑问，可直接向我咨询。