结论：员工在承包人和员工都到期的情况下能否索赔，取决于具体的合同条款、法律规定以及实际情况。以下从不同角度进行分析：
一、合同到期与索赔的关系
劳动合同到期：
- 如果员工与承包人（即用人单位）之间的劳动合同到期，且双方未续签劳动合同，那么根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同即行终止。
- 在这种情况下，员工通常不能直接因合同到期而索赔，除非合同中有特别约定或存在违法解除劳动合同的情形。
承包合同到期：
- 如果承包合同（即用人单位与发包方之间的合同）到期，这并不直接影响员工与用人单位之间的劳动合同关系。
- 除非承包合同的到期导致用人单位无法继续经营或无法履行与员工的劳动合同，否则员工不能仅因承包合同到期而索赔。
二、可能索赔的情形
经济补偿金：
- 如果劳动合同到期，且用人单位提出不续签或降低劳动条件导致员工不续签的，根据《劳动合同法》第四十六条，用人单位应当向员工支付经济补偿金。
- 经济补偿金的计算方式通常为：每工作一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。
违法解除劳动合同的赔偿金：
- 如果用人单位在劳动合同到期前或到期时违法解除劳动合同（如无正当理由解雇员工），员工有权要求用人单位支付赔偿金。
- 赔偿金的计算方式通常为经济补偿金的两倍。
未支付工资或福利的索赔：
- 如果用人单位在劳动合同到期前或到期时未支付员工应得的工资、奖金、津贴等福利，员工有权要求用人单位支付这些费用。
三、实际操作建议
审查合同条款：
- 员工应仔细审查与用人单位签订的劳动合同以及用人单位与发包方签订的承包合同，了解合同中的相关条款和约定。
收集证据：
- 如果员工认为用人单位存在违法行为或未履行合同义务，应收集相关证据（如工资单、劳动合同、解雇通知等）以支持自己的索赔请求。
协商与调解：
- 在提起索赔之前，员工可以尝试与用人单位进行协商或寻求第三方调解机构的帮助，以达成和解协议。
法律途径：
- 如果协商和调解无果，员工可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。
进一步思考：员工在面临此类情况时，应保持冷静并理性分析自己的权益和可能的索赔途径。同时，建议员工在签订劳动合同时仔细阅读合同条款并了解相关法律规定，以便在发生争议时能够更好地维护自己的权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。