结论：私下签订的协议，在双方意思表示真实、行为人具有相应的民事行为能力，且内容不违反法律法规的强制性规定、不违背公序良俗的情况下，即使未经公证也是有效的。按手印与签字、盖章具有同等法律效力，作为确认协议的方式之一。下面我从几个方面为你详细解释：
协议有效的条件
行为人具有相应的民事行为能力：
- 签订协议的双方当事人需具备独立实施民事法律行为的资格和能力。例如，完全民事行为能力人（年满18周岁且精神健康的自然人，或16周岁以上以自己的劳动收入为主要生活来源的未成年人）可以独立签订协议。无民事行为能力人（如不满8周岁的未成年人、不能辨认自己行为的成年人）所签协议通常无效。
- 举例：如果一个未成年人未经家长同意，私自与他人签订了一份购买昂贵物品的协议，这份协议很可能是无效的，因为该未成年人可能不具备相应的民事行为能力。
意思表示真实：
- 双方在签订协议时，必须自愿、真实地表达自己的意愿，不存在欺诈、胁迫、重大误解等情形。若一方在受威胁或误导下签订协议，该协议可被撤销。
- 举例：如果一方在签订协议时被另一方威胁，如果不签就会对其不利，那么这份协议就不是基于真实意思表示签订的，受威胁方有权请求法院撤销该协议。
不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗：
- 协议内容必须符合法律规定，不得违反法律的强制性规定，也不得违背社会公共秩序和善良风俗。例如，买卖毒品的协议因违法而无效；约定进行有违伦理道德的行为的协议也因违背公序良俗而不具法律效力。
- 举例：如果双方签订了一份协议，约定共同进行赌博活动，这份协议就是无效的，因为赌博是违法的，且违背了社会公序良俗。
按手印的法律效力
- 按手印作为一种确认方式，与签字、盖章具有同等的法律效力，能够进一步证明当事人对协议内容的认可。在实际操作中，很多人会选择在协议上签字并按手印，以增强协议的证明力。
公证的作用与必要性
公证并非协议生效的必要条件：
- 公证只是通过公证机构的证明，增强协议的证明力和公信力，使协议在发生纠纷时更容易被法院采纳和执行。
- 即使协议未经公证，只要其本身合法有效，仍然受到法律保护。
公证的额外保障：
- 若当事人希望获得更强的法律保障，可以选择办理公证，以增强协议的证据效力和强制执行力。例如，在涉及大额财产转让或重要权益变更的协议中，办理公证可以提供更可靠的证据支持。
无效的情形
基于无效的民事法律行为：
- 无民事行为能力人实施的民事法律行为无效。
- 行为人与相对人以虚假的意思表示实施的民事法律行为无效。
- 违反法律、行政法规的强制性规定的民事法律行为无效（但强制性规定不导致无效的除外）。
- 违背公序良俗的民事法律行为无效。
- 行为人与相对人恶意串通，损害他人合法权益的民事法律行为无效。
合同免责条款的无效情形：
- 如一些商家在格式合同中规定“商品一经售出，概不退换，无论出现任何质量问题商家均不负责”，这种免除自己主要责任、排除消费者主要权利的条款可能被认定为无效。
建议：在签订协议时，务必确保双方意思表示真实、内容合法合规，并根据需要选择是否办理公证。如果对协议的效力或内容有疑问，可以随时向我咨询，我会为你提供专业的法律意见。