关于工会法人私章是否需要备案的问题，这主要取决于具体的印章管理规定以及当地的实践操作。不过，我可以根据一般性的印章管理原则和相关政策文件，为您提供一个较为全面的解答。

首先，我们需要明确的是，工会作为社会团体，其印章的管理通常遵循社会团体印章管理的相关规定。根据《社会团体印章管理规定》（民政部、公安部令第1号）以及其他相关政策文件，社会团体的印章在刻制后，一般需要经过社团登记管理机关和有关业务主管部门的备案，方可启用。这一规定旨在确保印章的合法性和安全性，防止印章被非法使用或滥用。

对于工会法人私章，虽然它可能更多地用于工会内部的日常事务或特定场合，但如果该私章在工会对外活动中具有代表工会法人身份或具有法律效力的功能，那么它同样需要遵循印章管理的相关规定。这意味着，在刻制工会法人私章后，可能需要向相关部门进行备案，以确保其合法性和有效性。

然而，具体的备案要求可能因地区而异。不同地区的公安机关或社团登记管理机关可能对印章备案有具体的规定和流程。因此，我建议您咨询当地的公安机关或社团登记管理机关，以了解工会法人私章是否需要备案以及具体的备案流程和要求。

此外，无论工会法人私章是否需要备案，工会都应建立健全印章管理制度，确保印章的安全保管和规范使用。这包括指定专人负责印章的保管、建立印章使用登记制度、对违反规定使用印章的行为进行严肃处理等。

综上所述，工会法人私章是否需要备案取决于具体的印章管理规定和当地实践操作。为了确保合规性和安全性，我建议您咨询当地相关部门以获取准确的信息和指导。