食品安全执法部门本身并没有直接权利让商家赔消费者损失，但其可以通过行政手段促使商家承担赔偿责任，或在特定情况下支持消费者通过法律途径维权。以下从不同角度为你详细分析：

行政手段促使赔偿

食品安全执法部门，如市场监督管理局等，在发现商家存在食品安全违法行为，且该行为给消费者造成了损失时，虽然不能直接判决商家赔偿，但可以采取一系列行政措施来促使商家承担赔偿责任。例如：

1. 行政处罚与调解：执法部门可以对商家进行行政处罚，如罚款、没收违法所得、吊销许可证等。同时，在处罚过程中或处罚后，执法部门可以组织商家与消费者进行调解，促使双方就赔偿事宜达成一致。
2. 责令改正与赔偿：如果商家的违法行为尚未造成严重后果，但存在食品安全隐患，执法部门可以责令商家立即改正，并要求商家对已经受到损害的消费者进行赔偿。

支持消费者通过法律途径维权

当食品安全执法部门发现商家存在违法行为，且消费者因此遭受了损失时，执法部门还可以为消费者提供必要的法律支持和协助，帮助消费者通过法律途径维护自己的权益。例如：

1. 提供证据支持：执法部门在调查过程中收集的证据，如检验报告、现场检查记录等，可以作为消费者维权的重要依据。消费者可以在提起民事诉讼时，向法院申请调取这些证据。
2. 法律咨询与指导：虽然执法部门不是专业的法律服务机构，但它们通常具备一定的法律知识，可以为消费者提供基本的法律咨询和指导，帮助消费者了解自己的权益和维权途径。

消费者直接维权的法律途径

除了依赖食品安全执法部门的支持和协助外，消费者还可以直接通过法律途径来维护自己的权益。根据《中华人民共和国民法典》和《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定：

1. 民事诉讼：消费者可以向人民法院提起民事诉讼，要求商家承担赔偿责任。在诉讼过程中，消费者需要提供充分的证据证明商家的违法行为与自己的损失之间存在因果关系。
2. 消费者协会调解：消费者还可以向当地的消费者协会寻求帮助，由消费者协会组织双方进行调解。如果调解成功，双方可以签订调解协议，商家需要按照协议约定进行赔偿。

特殊情况下的直接赔偿

在某些特殊情况下，如商家存在故意欺诈行为或严重违法行为，且执法部门已经掌握了充分的证据，那么执法部门在依法对商家进行处罚的同时，也可以建议或要求商家直接对消费者进行赔偿。但这种情况下的“要求”并不具有法律强制力，商家是否赔偿仍取决于其自身的意愿和法律判决。

总结与建议：

食品安全执法部门在维护食品安全和消费者权益方面发挥着重要作用。虽然它们不能直接判决商家赔偿消费者的损失，但可以通过行政手段促使商家承担赔偿责任，或为消费者提供法律支持和协助。作为消费者，在遇到食品安全问题时，应积极向执法部门举报，并保留好相关证据，以便在需要时通过法律途径维护自己的权益。如果你在这方面有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。