结论前置：若监控显示对方全责但对方不认可，您可以通过收集并固定证据、报警并等待交警出具事故责任认定书、协商或调解以及提起诉讼等途径来维护自己的合法权益。

详细分析如下：

1. 收集并固定证据：

   • 监控录像：确保您已经妥善保存了监控录像，这是证明对方全责的关键证据。如果可能，可以将录像复制到多个存储设备中，以防丢失。
   • 其他证据：除了监控录像外，还可以收集现场照片、证人证言等其他相关证据，以进一步证明事故责任。

2. 报警并等待交警出具事故责任认定书：

   • 报警：在事故发生后，应立即报警并等待交警到场处理。交警会进行现场勘查、询问当事人和证人，并依据相关法律法规出具事故责任认定书。
   • 事故责任认定书：这是处理交通事故的重要依据，其中会明确双方的责任比例。如果对方不认可监控录像中的事实，但交警根据现场勘查和其他证据出具了对方全责的事故责任认定书，那么这份认定书将具有法律效力。

3. 协商或调解：

   • 协商：在拿到事故责任认定书后，您可以尝试与对方进行协商，要求对方承担相应的赔偿责任。如果对方愿意协商并达成一致意见，可以签订书面协议以明确双方的权利和义务。
   • 调解：如果协商无果，您可以向交警部门或人民调解委员会申请调解。调解员会依据相关法律法规和事故责任认定书进行调解，并促成双方达成和解协议。

4. 提起诉讼：

   • 如果协商和调解均无法解决问题，您可以向法院提起诉讼，要求对方承担赔偿责任。在诉讼过程中，您需要提交监控录像、事故责任认定书等相关证据来证明对方的全责。
   • 法院判决：法院会根据双方提交的证据和相关法律法规进行审理，并作出判决。如果判决对方承担全部责任，那么对方就需要按照判决结果承担相应的赔偿责任。

额外建议：

• 在处理交通事故时，保持冷静和理性至关重要。不要因为对方的不认可而情绪激动或采取过激行为，这可能会对您不利。
• 如果您对法律程序或相关法律法规不熟悉，可以寻求专业律师的帮助。律师可以为您提供法律咨询、代理诉讼等服务，帮助您更好地维护自己的合法权益。

可能遇到的法律后果：

• 如果对方不认可事故责任认定书并拒绝承担赔偿责任，您可能需要通过法律途径来解决问题。这可能会耗费您一定的时间和精力，但只要您有足够的证据支持自己的主张，通常都能够获得公正的判决结果。
• 如果对方在诉讼过程中仍然拒绝承担责任或逃避赔偿，法院可能会采取强制执行措施来保障您的合法权益。这包括查封、扣押、拍卖对方的财产等措施。