结论前置：

1. 一般情况下，工伤私了后单位不可以随意辞退员工。工伤员工在丧失或部分丧失劳动能力时，其劳动关系受到法律保护，单位不得随意解除劳动合同。
2. 但在特定情形下，如员工存在严重违反用人单位规章制度等法定过错，单位有权依法解除劳动合同。

详细分析：

一般情况下不可辞退

根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条的规定，劳动者在本单位患职业病或者因工负伤并被确认丧失或者部分丧失劳动能力的，用人单位不得依照本法第四十条（无过失性辞退）和第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。这一规定旨在保护工伤员工的合法权益，确保他们在受伤后能得到必要的生活和就业保障。

举例说明：假设员工小张在工作中受伤，被认定为工伤并部分丧失劳动能力。在此情况下，除非小张存在严重违反单位规章制度等特殊情形，否则单位不能以经营困难或不能胜任工作等理由辞退他。即使双方已经私了，单位也不能因此获得辞退的合法理由。

特定情形下可辞退

尽管工伤员工在一般情况下享有特殊的保护，但若他们存在《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条规定的过错情形，如严重违反用人单位的规章制度、严重失职、营私舞弊给用人单位造成重大损害，或被依法追究刑事责任等，用人单位可以依法解除劳动合同。

举例说明：如果工伤员工小李在工伤治疗期间多次无故旷工，严重影响单位正常生产秩序，且经多次警告仍不改正。在这种情况下，单位可以依据规章制度辞退小李，即使双方之前已经私了。

违法辞退的后果

若用人单位违反法律规定，擅自辞退工伤员工，员工有权要求用人单位继续履行劳动合同。若员工不要求继续履行或劳动合同已无法继续履行，用人单位需按照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。赔偿金的计算方式依据员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资的经济补偿。

计算公式：

• 赔偿金 = 经济补偿标准 × 2
• 经济补偿标准 = 工作年限 × 月工资（工作年限满一年按一个月计算，六个月以上不满一年按一年计算，不满六个月按半个月计算）

工伤人员被辞退后的维权途径

1. 确认辞退行为是否违法：员工应依据《劳动合同法》等相关法律，判断单位的辞退行为是否合法。
2. 收集证据：员工应妥善保管劳动合同、工伤认定决定书、劳动能力鉴定结论书、辞退通知等关键证据。
3. 与单位协商：在确认单位违法辞退后，员工可与单位进行协商，要求恢复劳动关系或支付相应的赔偿金及工伤待遇。
4. 申请仲裁或提起诉讼：若协商无果，员工可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁结果不服的，还可依法向人民法院提起诉讼。

总结与建议：

工伤员工在享受特殊保护的同时，也应遵守用人单位的规章制度。用人单位在辞退工伤员工时，必须严格遵守法律规定，否则将承担相应的法律责任。如果工伤员工遇到单位违法辞退的情况，应积极收集证据，通过协商、仲裁或诉讼等途径维护自己的合法权益。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。