在刑事案件审查起诉阶段，检察院是可以申请延期羁押的，但需符合法定条件并履行相应程序。具体分析如下：

1. 法律依据与条件
   根据《刑事诉讼法》第160条，检察院在审查起诉阶段发现案件需要补充侦查的，可以退回公安机关补充侦查，也可以自行侦查。若因补充侦查需要，且原羁押期限即将届满，检察院可向法院申请延长羁押期限（需经上一级检察院批准）。此外，若案件存在重大复杂、犯罪嫌疑人可能判处十年以上有期徒刑等法定情形，检察院也可依据《刑事诉讼法》第156-158条申请延长羁押期限。

2. 程序要求

   • 申请主体：由承办案件的检察院提出，需经检察长或检察委员会决定。
     
   • 审批机关：延长羁押期限需报上一级检察院批准（如市级检察院报省级检察院）。
     
   • 时间限制：每次延长不得超过一个月，且总延长次数受法律严格限制（如一般案件最多延长两次）。
     

3. 实务中的关键点

   • 必要性审查：检察院需证明延期羁押是“为了完成审查起诉工作”或“因补充侦查需要”，而非随意延长。
     
   • 犯罪嫌疑人权利保障：延期羁押期间，犯罪嫌疑人有权委托辩护人，辩护人可申请取保候审或提出异议。
     
   • 与补充侦查的关系：若案件被退回补充侦查，羁押期限会重新计算，但检察院仍需在法定期限内完成审查起诉（通常为一个月，可延长十五日）。
     

总结：检察院在审查起诉阶段申请延期羁押需严格遵循法定条件与程序，目的是确保案件质量，但同时需平衡犯罪嫌疑人的合法权益。若您或家属涉及此类情况，建议及时委托律师介入，监督程序合法性并维护权益。