核心结论：没签租房合同的情况下，完全可以半途签租房合同。
法律背景与解释：
合同自由原则：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，合同是当事人之间设立、变更、终止民事关系的协议。在租房场景中，即使一开始没有签订书面合同，双方也已经通过实际行为（如租客入住、房东收取租金）形成了一种事实上的租赁关系。然而，为了明确双方的权利和义务，避免后续可能出现的纠纷，签订书面合同是非常必要的。因此，在租赁关系存续期间，双方完全有权并应该签订书面租房合同。
书面合同的重要性：书面合同能够详细记录租赁双方的权利和义务，包括租金、租期、押金、维修责任等关键条款。一旦发生纠纷，书面合同将成为解决争议的重要依据。相比之下，口头协议或事实上的租赁关系往往因为缺乏明确的证据而难以维护双方的权益。
法律建议：
及时补签合同：如果一开始没有签订书面租房合同，建议双方尽快协商并补签一份详细的书面合同。在补签合同时，应确保合同内容完整、明确，并涵盖所有关键条款。
明确合同条款：在签订合同时，双方应仔细阅读合同条款，确保自己的权益得到充分保障。特别是关于租金、租期、押金、维修责任等关键条款，应明确约定并避免模糊表述。
保留证据：在签订合同前，双方应保留好与租赁关系相关的所有证据，如租金支付记录、沟通记录等。这些证据将在后续可能出现的纠纷中发挥重要作用。
可能的法律后果：
如果未签订书面合同：虽然双方已经形成了事实上的租赁关系，但一旦发生纠纷（如租金争议、房屋损坏赔偿等），可能因为缺乏明确的证据而难以维护自己的权益。此外，如果租客未经房东同意擅自转租或改变房屋用途等行为，也可能面临法律责任。
如果签订了书面合同：双方的权利和义务将得到明确保障。一旦发生纠纷，合同将成为解决争议的重要依据。同时，书面合同也有助于规范双方的行为，减少不必要的纠纷和损失。
举例说明：
假设租客小张和房东李先生一开始没有签订书面租房合同，但小张已经入住并支付了租金。后来，双方因为租金调整问题产生了争议。由于缺乏书面合同作为依据，双方难以就租金调整达成一致意见。如果此时双方能够补签一份书面合同，并明确约定租金调整的条件和方式，那么后续的争议就可以得到有效避免。
总之，没签租房合同的情况下完全可以半途签租房合同。为了保障双方的权益和避免后续纠纷，建议尽快补签一份详细的书面合同。如果你在租房过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。