构成犯罪但不追究刑事责任是否会有案底，需根据具体情况分析，一般而言，若行为人未被法院判定有罪，则不会留下犯罪案底；但在某些特殊情况下，仍可能留下犯罪记录或其他相关记录。以下是对这一问题的详细分析：
一、一般情况下没有案底
案底通常指的是犯罪记录，即人民法院作出有罪生效裁判文书确认行为人有罪的记录。在构成犯罪但不追究刑事责任的常见情形中，行为人通常不会留下犯罪案底：
情节显著轻微、危害不大，不认为是犯罪的：
- 依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第十六条，此类情况不追究刑事责任，已追究的应撤销案件、不起诉、终止审理或宣告无罪。
- 实例：张三与李四因琐事发生轻微肢体冲突，若综合判断为显著轻微、危害不大，则不构成犯罪，不留案底。
犯罪已过追诉时效期限的：
- 犯罪行为经过一定期限后不再追究刑事责任，如法定最高刑不满五年有期徒刑的犯罪，经过五年即不再追诉。
- 实例：王五在十年前实施了一起盗窃行为，但因法定最高刑为三年有期徒刑，且已过追诉时效期限，故不再追究刑事责任，不留案底。
经特赦令免除刑罚的：
- 特赦是国家对特定犯罪分子免除刑罚的执行。被特赦者虽可能曾实施犯罪行为，但因特赦而不再追究，故不留犯罪案底。
犯罪嫌疑人、被告人死亡的：
- 因刑事责任具有人身专属性，嫌疑人或被告人死亡时，无法刑事处罚，司法机关终止追究，不留案底。
二、特殊情况下可能有记录
虽然一般情况下构成犯罪但不追究刑事责任不会留下犯罪案底，但在以下特殊情况下可能会存在其他记录：
犯罪情节轻微而被不起诉的：
- 虽然检察院决定不起诉，但可能仍会在司法机关留下犯罪记录。这种记录不同于传统意义上的案底，但在某些特定情况下可能被查阅。
- 实例：赵六因盗窃行为被检察院认为情节轻微而决定不起诉，但司法机关可能仍会记录其犯罪行为，只是不追究刑事责任。
酌定不起诉的：
- 从人民检察院作出的不起诉决定生效之日起，犯罪嫌疑人视为无罪，但犯罪记录会被存档保管且不能消除。这种记录同样不同于传统意义上的案底，但在特定情况下可能被查阅。
治安违法记录：
- 若行为不构成犯罪但违反《中华人民共和国治安管理处罚法》，公安机关可能对行为人进行治安处罚（如警告、罚款、行政拘留）。
- 实例：孙七因打架被公安机关行政拘留五日，会留下治安违法记录，但这不属于犯罪案底。
三、总结与建议
综上所述，构成犯罪但不追究刑事责任是否会留案底需具体分析。对于一般不予追究的情形，行为人通常不会留下犯罪案底；但在特殊情况下，如犯罪情节轻微而被不起诉或酌定不起诉，仍可能留下犯罪记录或其他相关记录。这些记录在性质、影响范围等方面与犯罪案底存在明显区别，但也可能对个人产生一定影响。
建议：如果您或您身边的人遇到类似情况，建议及时咨询专业律师以获取更准确的法律信息和建议。同时，在日常生活中应遵守法律法规，避免涉及任何违法犯罪行为，以维护个人声誉和合法权益。