结论：孩子爷爷和爸爸争抚养权，即便孩子选择爷爷，爸爸仍然有权起诉妈妈要求支付抚养费。抚养费的支付与抚养权的归属是两个独立的法律问题，不因抚养权的归属而免除另一方支付抚养费的义务。

详细分析：

1. 抚养权与抚养费的关系：

   • 抚养权是指父母对子女进行抚养、教育、保护的权利和义务。在离婚或分居等情况下，抚养权可能由一方或双方共同行使。
   • 抚养费则是非直接抚养子女的一方应支付给直接抚养子女的一方，用于子女的日常生活、教育、医疗等费用的经济支持。
   • 抚养权的归属与抚养费的支付是两个独立的法律问题。即使一方获得了抚养权，另一方仍有义务支付抚养费，除非双方另有约定或法院另有判决。

2. 孩子选择爷爷的情况：

   • 孩子选择爷爷作为抚养人，这反映了孩子的意愿和偏好，但并不改变父母对子女的法定抚养义务。
   • 爸爸作为孩子的法定监护人之一，即使孩子选择由爷爷抚养，爸爸仍然有义务为孩子提供经济支持，即支付抚养费。
   • 如果爸爸不履行支付抚养费的义务，妈妈（或直接抚养孩子的一方）有权向法院提起诉讼，要求爸爸支付抚养费。

3. 法律程序与证据：

   • 如果爸爸想起诉妈妈要求支付抚养费（实际上在常规情况下是妈妈要求爸爸支付，但此处按用户问题表述分析），这通常不是常见的法律诉求，因为抚养费通常是非直接抚养方支付给直接抚养方。但如果是爸爸认为妈妈应分担部分抚养费用（在特殊情况下，如双方共同抚养但费用分担不均），爸爸可以提起诉讼，但需提供充分证据证明妈妈有支付能力且应分担费用。
   • 在常规情况下，若妈妈是直接抚养方，爸爸不支付抚养费，妈妈可以起诉爸爸。诉讼过程中，妈妈需要提供证据证明爸爸是孩子的法定监护人、未履行支付抚养费的义务，以及孩子的实际生活需要等。

4. 法律建议：

   • 对于爸爸而言，如果他认为妈妈应分担抚养费用，应首先尝试与妈妈协商解决。协商无果时，可以寻求法律援助或咨询专业律师，了解具体的法律程序和证据要求。
   • 对于妈妈而言，如果爸爸不履行支付抚养费的义务，她有权向法院提起诉讼。在诉讼前，妈妈应收集好相关证据，如孩子的生活费用单据、爸爸的收入证明等，以支持自己的诉求。

总结：抚养权的归属与抚养费的支付是两个独立的法律问题。孩子选择爷爷作为抚养人，并不免除爸爸支付抚养费的义务。如果爸爸不履行支付义务，妈妈有权向法院提起诉讼。同样，在特殊情况下如果爸爸认为妈妈应分担费用，也可以提起诉讼，但需提供充分证据。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。