结论：邻居养鸡扰民，即使公安已经进行了处罚，您仍然有权向法院起诉要求邻居赔礼道歉。

详细分析：

1. 公安处罚与民事诉讼的关系：

   • 公安的处罚通常是基于行政法规，针对的是违反行政管理秩序的行为，如噪音扰民等。这种处罚主要是行政性的，旨在维护公共秩序和行政管理。
   • 而您向法院起诉要求赔礼道歉，则是基于民事法律关系，特别是侵权责任法。当邻居的行为侵犯了您的合法权益（如安宁权），您有权要求邻居承担民事责任，包括赔礼道歉。

2. 赔礼道歉的法律依据：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，侵害民事权益，应当依照本法承担侵权责任。如果邻居养鸡的行为确实构成了对您安宁权的侵犯，那么您有权要求邻居停止侵害、赔礼道歉，并可能要求赔偿损失。

3. 诉讼流程与注意事项：

   • 在提起诉讼前，建议您先收集相关证据，如邻居养鸡扰民的录音、录像、照片，以及您因此受到的精神损害等证明材料。
   • 您可以向当地法院提起民事诉讼，要求邻居赔礼道歉，并可能要求赔偿因侵权行为造成的损失。
   • 在诉讼过程中，您需要遵循法院的诉讼程序，如提交诉状、参加庭审等。

4. 赔礼道歉的实现方式：

   • 赔礼道歉可以通过书面形式或口头形式进行，具体方式可以根据法院的判决或双方的协商来确定。
   • 如果邻居拒绝履行赔礼道歉的义务，您可以向法院申请强制执行，法院可以采取公告、登报等方式将判决内容公之于众，以达到赔礼道歉的效果。

建议：

• 在提起诉讼前，您可以先尝试与邻居进行协商，看是否能够达成和解协议，避免不必要的法律纠纷。
• 如果协商无果，您可以咨询专业律师（即我，汪小波律师，专注于经济纠纷、侵权纠纷领域），了解具体的诉讼流程和注意事项，以便更好地维护自己的合法权益。

后续行动：

• 如果您决定提起诉讼，请准备好相关证据材料，并按照法院的诉讼程序进行操作。
• 在诉讼过程中，如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。