三次偷越国边境均被行政处罚，若后续再次偷越且情节严重，则构成犯罪，可能面临刑事处罚。以下是对此问题的详细分析：
一、偷越国边境的行政处罚与刑事处罚界限
行政处罚：
- 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第六十二条第二款，对于一般的偷越国（边）境行为，如果情节较轻，不构成犯罪，将处以五日以下拘留或者五百元以下罚款。
刑事处罚：
- 当偷越国（边）境行为达到“情节严重”时，将触犯《中华人民共和国刑法》第三百二十二条，构成偷越国（边）境罪。此时，行为人将面临一年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处罚金的刑事处罚。
二、三次偷越国边境均被行政处罚后的法律后果
情节严重的认定：
- 根据相关司法解释和实务操作，多次偷越国（边）境（通常指3次以上）是认定“情节严重”的重要情形之一。因此，若行为人三次偷越国边境均被行政处罚后，再次偷越，且该次偷越行为被认定为情节严重，则构成犯罪。
刑事处罚的可能性：
- 在行为人三次偷越国边境均被行政处罚后，若再次偷越且情节严重，根据《中华人民共和国刑法》第三百二十二条的规定，行为人将面临一年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处罚金的刑事处罚。
三、特殊情形的考虑
为实施违法犯罪活动而偷越：
- 如果行为人偷越国（边）境是为了实施其他违法犯罪活动，如走私、贩毒等，那么该行为的社会危害性更大，量刑时也会予以从重考虑。
累犯情节：
- 若行为人因偷越国（边）境被判处刑罚后，在刑罚执行完毕或者赦免以后，五年以内再犯应当判处有期徒刑以上刑罚之罪的，根据《中华人民共和国刑法》第六十五条的规定，将构成累犯，应当从重处罚。
四、建议与警示
严格遵守法律法规：
- 偷越国（边）境是严重的违法行为，不仅可能面临行政处罚，还可能构成犯罪并面临刑事处罚。因此，建议所有人严格遵守国家法律法规，不要尝试非法出入境行为。
及时咨询专业律师：
- 如果您或您身边的人涉及偷越国（边）境的行为，并面临法律纠纷或处罚，建议及时咨询专业律师，了解相关法律后果和应对策略。
综上所述，三次偷越国边境均被行政处罚后，若再次偷越且情节严重，则构成犯罪并可能面临刑事处罚。因此，请务必严格遵守国家法律法规，避免触碰法律红线。如有任何法律问题或疑虑，请直接向我咨询。