核心结论：信用卡逾期多年且名下有存款的情况下，银行有权通过法律途径追讨欠款，存款可能被冻结或划扣，但需经过法定程序。以下是具体分析和建议：

1. 银行的追讨权利与程序

• 根据《商业银行信用卡业务监督管理办法》及《民事诉讼法》，银行在信用卡逾期后，可通过以下方式追讨：
  • 催收：银行会先通过电话、短信、信函等方式催收，若逾期超过90天，可能委托第三方催收机构。
  • 起诉：若催收无果，银行可向法院提起民事诉讼，要求还款并支付利息、违约金等。
  • 申请强制执行：若法院判决后仍不还款，银行可申请强制执行，冻结或划扣名下存款、房产等资产。
• 关键点：银行不会直接划扣存款，必须通过法院判决和执行程序，但存款存在被冻结的风险。

2. 存款可能面临的风险

• 冻结风险：若银行起诉并申请财产保全，法院可冻结名下存款，但冻结金额通常以欠款本金、利息及诉讼费用为限。
• 划扣风险：若判决生效后仍不履行，法院可划扣存款用于还款。若存款不足，可能拍卖其他资产（如房产、车辆）。
• 例外情况：若存款属于“生活必需费用”（如基本生活费、子女教育费等），可向法院申请保留部分金额。

3. 应对建议

• 主动协商：
  • 联系银行说明情况，尝试协商分期还款或减免部分利息、违约金。
  • 若银行同意，可签订书面还款协议，避免法律纠纷。
• 应对诉讼：
  • 若已收到法院传票，务必出庭应诉，否则可能被缺席判决。
  • 在庭审中可主张经济困难，争取分期还款或减免费用。
• 执行阶段应对：
  • 若存款被冻结，可向法院申请解冻部分金额用于基本生活。
  • 若被划扣，可与银行协商还款计划，避免进一步执行。

4. 法律后果与信用影响

• 信用记录：逾期记录会保留在个人征信报告中5年，影响贷款、信用卡申请等。
• 刑事风险：若恶意透支（如伪造资料、透支后逃匿），可能构成信用卡诈骗罪，但1万元欠款通常不涉及刑事责任（除非符合“数额较大”标准且情节恶劣）。

5. 长期解决方案

• 制定还款计划：根据收入情况，逐步偿还欠款，避免利息和违约金持续累积。
• 修复信用：还款后保持良好信用记录，5年后逾期记录自动消除。
• 法律咨询：若对银行催收或法院程序有疑问，可直接向我咨询具体法律问题。

总结：信用卡逾期多年且名下有存款时，银行有权通过法律途径追讨，存款可能被冻结或划扣。建议主动与银行协商还款，避免法律纠纷；若已进入诉讼或执行阶段，可依法维护自身权益。如有具体法律问题，可直接向我咨询。