当公证遗嘱的执行人不肯执行时，相关利害关系人（如继承人、受遗赠人等）可以通过以下途径来维护自身权益：

1. 沟通协商：

   • 尝试联系：首先，建议与遗嘱执行人进行直接沟通，了解其不执行遗嘱的具体原因。可能是因为对遗嘱内容有误解，或者存在某些实际困难导致无法执行。
   • 协商解决方案：在了解原因后，双方可以协商寻求解决方案，如明确执行时间、方式等，或者对遗嘱中的某些条款进行微调以达成共识。

2. 法律途径解决：

   • 向人民法院提起诉讼：
     • 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百四十八条，遗产管理人（包括遗嘱执行人）应当依法履行职责，因故意或者重大过失造成继承人、受遗赠人、债权人损害的，应当承担民事责任。若遗嘱执行人无正当理由拒不履行执行义务，相关权利人可以依法向人民法院提起诉讼，要求其承担法律责任。
     • 诉讼准备：在提起诉讼前，应准备好相关证据材料，如遗嘱文本、遗嘱执行人的身份证明、其不履行执行义务的证据（如书面通知、沟通记录等）。
     • 诉讼请求：在诉讼中，可以要求遗嘱执行人履行执行义务，并赔偿因其不履行义务给相关权利人造成的损失。
   • 申请指定遗产管理人：
     • 适用情形：如果遗嘱执行人无法或不愿意履行职责，且遗嘱中没有指定其他执行人或指定的执行人也不适合担任，相关权利人可以向法院申请指定遗产管理人。
     • 申请流程：申请人需向法院提交申请书及相关证明材料，说明遗嘱执行人的情况、申请指定遗产管理人的理由等。法院将根据实际情况作出裁定。
     • 遗产管理人的职责：被指定的遗产管理人将负责清理遗产并制作遗产清单、向继承人报告遗产情况、采取必要措施防止遗产毁损、灭失，以及处理被继承人的债权债务等。

3. 其他措施：

   • 寻求专业帮助：在处理此类问题时，由于涉及法律程序和证据收集等复杂环节，建议向我这样的专业律师咨询，以获取更具体的法律建议和帮助。
   • 保留证据：在整个过程中，务必保留好所有与遗嘱执行相关的证据材料，如遗嘱文本、沟通记录、法院文书等，以便在需要时提供证明。

在采取上述措施时，还需注意以下几点：

• 遵循法律程序：维护自身权益的关键在于遵循法律程序，不要采取过激或违法的行为。
• 保持冷静和理性：面对遗嘱执行人不肯执行的情况，保持冷静和理性至关重要，以便更好地应对和解决问题。
• 及时行动：一旦发现遗嘱执行人不肯执行，应及时采取行动，以免错过法律保护的时机。

举例说明：

假设张先生去世后留下了一份公证遗嘱，指定其好友李先生为遗嘱执行人。然而，李先生因个人原因拒绝执行遗嘱，导致张先生的遗产无法按照遗嘱进行分配。此时，张先生的继承人可以首先尝试与李先生沟通协商，了解其拒绝执行的原因，并尝试达成共识。如果沟通无果，继承人可以向人民法院提起诉讼，要求李先生履行执行义务并赔偿损失。同时，如果继承人认为李先生无法或不愿意履行职责，也可以向法院申请指定其他合适的遗产管理人。

总之，当公证遗嘱的执行人不肯执行时，相关利害关系人应通过沟通协商、法律途径解决以及其他措施来维护自身权益。在整个过程中，务必遵循法律程序、保持冷静和理性，并及时采取行动。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。