在以下情况下，相关部门会寄送行政处罚单：

1. 违法行为被查实：当个人或单位存在违反行政法规的行为，并且这一行为被相关行政机关查实后，行政机关会依据违法行为的性质、情节以及社会危害程度等因素，决定是否给予行政处罚。一旦决定处罚，行政机关就会制作并寄送行政处罚单。

2. 需要告知处罚内容：行政处罚单是行政机关向违法者正式告知其违法行为、处罚依据、处罚种类以及处罚期限等重要信息的法律文书。通过寄送行政处罚单，行政机关确保违法者了解自己的违法情况和应受的处罚，从而保障其合法权益。

3. 履行法定程序：根据《中华人民共和国行政处罚法》等相关法律法规的规定，行政机关在作出行政处罚决定前，应当履行一系列法定程序，包括调查取证、告知权利、听取陈述申辩等。寄送行政处罚单是这一程序中的重要环节，它标志着行政机关已经完成了对违法行为的调查和认定，并正式作出了处罚决定。

具体来说，行政处罚单可能包含以下内容：

• 违法事实：详细描述违法者的违法行为，包括时间、地点、行为方式等。
• 处罚依据：明确指出处罚所依据的法律法规条款。
• 处罚种类：根据违法行为的性质和情节，决定给予的处罚种类，如警告、罚款、没收违法所得、责令停产停业等。
• 处罚期限：规定违法者履行处罚决定的期限，如缴纳罚款的期限等。
• 救济途径：告知违法者如果对处罚决定不服，可以依法申请行政复议或提起行政诉讼等救济途径。

在收到行政处罚单后，违法者应当：

• 认真阅读：仔细阅读行政处罚单上的内容，了解自己的违法情况和应受的处罚。
• 及时履行：按照行政处罚单上的要求，及时履行处罚决定，如缴纳罚款、整改违法行为等。
• 寻求救济：如果对处罚决定不服，可以在法定期限内依法申请行政复议或提起行政诉讼，以维护自己的合法权益。

如果您在收到行政处罚单后存在疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律意见。