结论：邻居在自建房之间的60厘米公共沟渠正中间擅自铺设私人地下厕所管道，这一行为通常是不合法的，可能涉及侵犯相邻权、违反规划规定以及违反物权法相关规定。
详细分析：
侵犯相邻权：
- 根据《中华人民共和国民法典》中关于相邻关系的规定，不动产的相邻权利人应当按照有利生产、方便生活、团结互助、公平合理的原则，正确处理相邻关系。邻居之间的公共沟渠属于共有部分，任何一方不得擅自占用或改变其用途。
- 擅自铺设私人地下厕所管道可能影响公共沟渠的排水功能，对相邻不动产的正常使用造成妨碍，从而侵犯了相邻权。
违反规划规定：
- 自建房的建设通常需要遵循当地的城乡规划规定。公共沟渠作为自建房之间的基础设施，其规划和使用可能受到相关规划文件的约束。
- 擅自改变公共沟渠的用途或结构，可能违反了规划规定，需要承担相应的法律责任。
违反物权法相关规定：
- 根据《中华人民共和国民法典》中关于物权的规定，不动产的相邻权利人应当尊重彼此的物权，不得擅自侵犯或损害。
- 公共沟渠作为共有部分，其使用权和管理权应由所有相邻不动产的权利人共同享有。擅自铺设私人地下厕所管道，可能损害了其他相邻不动产权利人的物权。
法律建议：
- 协商解决：首先，建议与邻居进行友好协商，说明其行为可能带来的法律后果和不良影响，寻求双方都能接受的解决方案。
- 寻求调解：如果协商无果，可以寻求当地居委会、村委会或人民调解委员会的帮助，进行调解处理。
- 法律途径：若调解仍无法解决问题，可以考虑通过法律途径解决。可以向人民法院提起诉讼，要求邻居停止侵害、恢复原状并赔偿损失。
可能后果：
- 如果邻居的行为被认定为违法，可能需要承担停止侵害、恢复原状、赔偿损失等民事责任。
- 在某些情况下，如果邻居的行为严重违反了规划规定或造成了严重后果，还可能面临行政处罚或刑事责任。
总结与进一步思考：
- 在处理此类问题时，应充分考虑相邻关系的原则，尊重彼此的物权，通过合法途径解决纠纷。
- 如果您对具体法律条款或程序有疑问，或者需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。