结论：继子与继母断绝关系的手续并非通过某一特定法定程序完成，而是需根据双方是否形成抚养教育关系以及具体情况，通过协商、解除抚养关系或终止收养关系等方式实现法律关系的变更。以下是对此问题的详细分析：

一、未形成抚养教育关系的继父母子女关系

1. 自然解除：若继母与继子之间未形成抚养教育关系，即继母未对继子承担过抚养教育责任，那么当继母与生父（或继父与生母）的婚姻关系解除时，继父母子女关系自然随之解除，无需履行特定的法律程序或办理相关手续。

2. 实际操作：在此情况下，若双方希望明确关系解除，可简单通过书面声明或口头告知的方式表明意愿，但法律上并无强制要求。

二、已形成抚养教育关系的继父母子女关系

1. 协商解除：

   • 适用条件：若继母与继子之间已形成抚养教育关系，且继子已成年，双方关系恶化至无法继续共同生活，可通过协商达成书面协议，明确自愿解除继父母子女关系，并对财产、赡养等相关问题作出妥善处理。
   • 操作流程：双方进行充分协商沟通，达成一致意见后签订书面解除协议，明确双方意愿及后续安排。为增强法律效力，可选择将协议进行公证。

2. 诉讼解除：

   • 适用情形：若双方无法达成协议，或存在虐待、遗弃、严重侵害权益等法定解除事由时，可通过诉讼方式解决。
   • 操作步骤：准备民事起诉状及相关证据材料，如证明抚养关系已实际形成的证据（如共同生活照片、学校记录、医疗记录等）以及存在解除正当理由的证据（如虐待、遗弃的证据）；向有管辖权的人民法院提交并申请立案；参与庭审过程，陈述事实、举证质证；等待法院依据法律规定作出判决。

3. 终止收养关系（如适用）：

   • 适用条件：若继母与继子之间存在合法收养登记，且符合法定解除收养关系的条件（如收养人虐待被收养人、收养人与被收养人关系恶化无法共同生活等），可通过协议解除或诉讼解除两种方式终止收养关系。
   • 操作流程：协议解除需双方达成书面共识；诉讼解除适用于协商不成的情况，需提供法定解除事由的证据，并向法院提起诉讼。

三、特殊注意事项

1. 身份关系不可消除：即使通过上述方式解除了法律关系，继母与继子的身份称谓在户籍登记中可能仍会保留，但不再具有法律上的权利义务。

2. 未成年子女保护：涉及未成年继子的抚养关系变更时，法院将优先保障未成年人利益，要求解除方提供充分的证据支持，如继母存在虐待、遗弃等行为，或继子已由其他亲属抚养且生活稳定等。

3. 法律咨询与协助：在处理此类复杂法律问题时，建议寻求专业律师的协助，以确保行为的合法性和有效性。作为专业律师，我可以为你提供详细的法律咨询和协助，帮助你妥善处理继子与继母断绝关系的相关事宜。

总结：继子与继母断绝关系的手续需根据双方是否形成抚养教育关系及具体法律诉求来决定。未形成抚养教育关系的，随婚姻关系终止而自然解除；已形成抚养教育关系的，则可通过协商、诉讼或终止收养关系等方式解除，但需注意遵守相关法律法规，并在必要时寻求专业法律帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律协助，请随时向我咨询。