聘请单位可以起诉伪造医院公章入职的员工，但需根据具体诉求选择合适的法律途径。以下分情况详细说明：

1. 若聘请单位以“欺诈”为由主张合同无效，可提起民事诉讼
   根据《民法典》第148条，员工伪造公章入职的行为构成欺诈，单位有权请求法院或仲裁机构确认劳动合同无效。此时单位无需支付未履行部分的工资，但需支付员工已实际提供劳动的报酬（按同工同酬标准）。若因欺诈导致单位遭受损失（如招聘成本、培训费用等），可要求员工赔偿。

2. 若单位以“损害公司利益”为由索赔，可单独提起侵权诉讼
   若员工伪造公章的行为直接导致单位经济损失（如因员工无资质导致医疗事故、合同违约等），单位可依据《民法典》第1165条，以“侵权责任”为由要求员工赔偿实际损失。此时需举证损失与伪造行为之间的因果关系。

3. 若涉及刑事犯罪，单位可向公安机关报案
   伪造公章可能触犯《刑法》第280条“伪造公司、企业、事业单位、人民团体印章罪”，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或剥夺政治权利。若单位发现员工行为涉嫌犯罪，可直接向公安机关报案，由检察机关提起公诉。单位作为被害人可参与刑事诉讼，主张附带民事赔偿。

实务建议：

• 单位应优先固定证据（如公章鉴定报告、入职材料、员工实际工作记录等）；
  
• 根据损失大小和证据充分程度，选择民事诉讼或刑事报案路径；
  
• 若员工已离职，仍可追溯其责任，但需注意诉讼时效（民事诉讼3年，刑事追诉期5-10年）。
  

如有进一步细节（如单位类型、员工岗位、损失金额等），可向我补充说明，我会为您分析具体操作方案。