狗狗跑丢后，法律责任的赔偿问题需分情况讨论，主要取决于狗狗丢失的原因、管理人的过错程度以及是否涉及第三方侵权等因素。以下是具体分析：

1. 若因管理人疏忽导致狗狗丢失
   根据《中华人民共和国民法典》第一千二百四十五条，饲养的动物造成他人损害的，动物饲养人或者管理人应当承担侵权责任；但能够证明损害是因被侵权人故意或者重大过失造成的，可以不承担或者减轻责任。

   • 赔偿范围：若狗狗丢失后造成他人人身或财产损害（如咬伤他人、撞坏物品），管理人需承担赔偿责任。
     
   • 自身损失：若仅狗狗丢失未造成他人损害，管理人通常需自行承担寻找或重新购买狗狗的费用，法律上无强制赔偿义务（除非与第三方有约定，如宠物寄养合同）。
     
   • 例外情形：若管理人能证明已尽到合理管理义务（如拴绳、封闭环境等），可能减轻或免除责任。

2. 若因第三方侵权导致狗狗丢失

   • 盗窃或故意藏匿：若狗狗被他人盗窃或故意藏匿，侵权人需承担返还或赔偿责任（《民法典》第二百三十五条、第二百三十八条）。赔偿范围包括狗狗的市场价值、管理人为寻找狗狗产生的合理费用（如悬赏广告费用）。
     
   • 过失导致丢失：如第三方因过失（如宠物店员工未关好笼子）导致狗狗丢失，需根据过错程度赔偿管理人的实际损失（如狗狗价值、医疗记录等证明价值的证据）。

3. 若涉及宠物服务合同（如寄养、训练）

   • 若管理人与第三方（如宠物店）签订服务合同，狗狗丢失可能构成违约。管理人可依据《民法典》第五百七十七条要求第三方承担违约责任，赔偿范围包括合同约定的违约金或实际损失（如狗狗价值、寻找费用）。
     
   • 注意：合同中若有限制赔偿条款（如“丢失仅赔偿部分费用”），需结合条款合理性及第三方过错程度综合判断。

建议行动：

1. 立即报警并留存报案回执，证明狗狗丢失事实；
   
2. 收集狗狗价值证据（如购买凭证、血统证书、医疗记录）；
   
3. 若涉及第三方，固定证据（如监控录像、证人证言）；
   
4. 协商不成时，可向法院起诉要求赔偿。
   

如有进一步细节（如丢失原因、是否涉及第三方），可向我补充说明，我会为您具体分析。