结论：对方不可以持续敲诈。若对方存在持续敲诈行为，可能构成敲诈勒索罪，将面临刑事处罚。以下从多个角度进行分析：
一、敲诈勒索的构成要件
敲诈勒索罪是指以非法占有为目的，对被害人使用实施恐吓、威胁或要挟的方法，非法占用被害人公私财物，从而构成犯罪。其构成要件主要包括：
- 主观方面：具有非法占有的目的，即意图通过威胁、恐吓等手段获取他人财物。
- 客观方面：实施了威胁、恐吓或要挟的行为，且该行为足以使被害人产生恐惧心理，从而被迫交出财物。
- 客体方面：侵犯了公私财物的所有权和他人的人身权利或者其他权益。
二、对方行为是否构成敲诈勒索
若对方以孩子受伤为由，无理要求赔偿：
- 如果医生已经明确表示孩子受伤并无大碍，且对方提出的赔偿要求明显超出合理范围，甚至以威胁、恐吓等手段迫使你支付费用，那么对方的行为可能构成敲诈勒索。
- 在这种情况下，你有权拒绝支付不合理费用，并可以向公安机关报案，寻求法律保护。
若对方行为尚未达到敲诈勒索的程度：
- 如果对方只是提出了一些合理的赔偿要求，或者虽然要求较高但并未使用威胁、恐吓等手段，那么对方的行为可能不构成敲诈勒索。
- 在这种情况下，你可以与对方协商解决赔偿问题，或者通过法律途径解决争议。
三、应对策略
保留证据：
- 无论对方行为是否构成敲诈勒索，你都应该保留好相关证据，如医疗记录、对方的要求记录、沟通记录等。
- 这些证据将有助于你在后续的法律程序中证明自己的清白和对方的过错。
及时报案：
- 如果对方行为构成敲诈勒索，你应该及时向公安机关报案，并提供相关证据。
- 公安机关将依法进行调查处理，保护你的合法权益。
寻求法律帮助：
- 在处理此类纠纷时，你可以寻求专业律师的帮助，了解自己的权利和义务，以及应对策略。
- 律师将根据你的具体情况，为你提供专业的法律建议和帮助。
四、法律后果
若对方构成敲诈勒索罪：
- 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，敲诈勒索公私财物，数额较大或者多次敲诈勒索的，将面临三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金的处罚。
- 数额巨大或者有其他严重情节的，将面临三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金的处罚。
- 数额特别巨大或者有其他特别严重情节的，将面临十年以上有期徒刑，并处罚金的处罚。
若对方行为不构成犯罪：
- 如果对方行为不构成敲诈勒索罪，但存在过错或不当行为，你可能需要通过民事诉讼等途径解决争议，要求对方承担相应的民事责任。
总结与建议：对方不可以持续敲诈。若对方存在敲诈勒索行为，你应该保留好相关证据，及时向公安机关报案，并寻求专业律师的帮助。在处理此类纠纷时，你应该保持冷静、理性，依法维护自己的合法权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。