结论：固定期限劳动合同到期后，公司在符合法律法规的前提下，确实有权选择是否与员工续签劳动合同。以下是对此问题的详细分析：
公司可以不续签的情况
一般经营决策：
- 劳动合同期满时，公司基于自身的经营状况、业务调整或员工的工作表现等因素，有权决定不再与员工续签劳动合同。例如，若公司因市场变化导致业务量减少，需要精简人员，那么在合同到期时，公司可以选择不与部分员工续签。
员工存在法定不续签情形：
- 若员工在劳动合同履行过程中存在严重违反公司规章制度、严重失职营私舞弊给公司造成重大损害、被依法追究刑事责任，或不能胜任工作且经培训或调岗后仍不能胜任等情形，公司有权在合同到期时决定不续签。
公司不续签需承担的法律后果
支付经济补偿：
- 除非公司维持或提高劳动合同约定条件续订而员工不同意续订的情形外，劳动合同期满终止时，公司应向员工支付经济补偿金。经济补偿金的计算方式如下：
- 计算公式：\(经济补偿金 = 员工在本单位工作的年限 \times 员工月工资\)（其中，工作年限每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资）。
- 示例：若某员工在公司工作了3年8个月，合同到期后公司决定不续签，则公司应支付该员工4个月工资的经济补偿金。
违法终止需支付赔偿金：
- 如果公司在不符合法定条件的情况下不续签劳动合同，即构成违法终止劳动合同，此时公司应依照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。例如，员工在劳动合同期间表现良好，无任何违规行为，但公司仅因想要降低人力成本而在合同到期时不续签，这种情况就属于违法终止，公司需支付双倍经济补偿作为赔偿金。
注意事项与建议
- 合法合规决策：公司在决定不续签合同时，应确保决策不违反任何法律法规，特别是要避免对员工的歧视或不公平对待。
- 提前沟通：公司应提前与员工进行沟通，明确合同到期后的安排，以便员工有足够的时间做出调整和准备。
- 咨询与确认：在处理此类问题时，公司应仔细审查相关法律法规，并确保所有决策均符合法律要求。如有任何疑问或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询，以确保合规性并降低法律风险。
综上所述，公司在处理固定期限合同到期不续签的问题时，应严格遵守相关法律法规，确保决策合法合规，并妥善处理好与员工的经济补偿事宜。如有任何法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我提问。