您好，理解您需要证明儿子和母亲之间亲属关系的迫切需求。针对您的情况，以下是一些建议的证明途径和所需材料，希望能对您有所帮助。

首先，根据《关于改进和规范派出所出具证明工作的实施意见》，如果曾经同户的人员间的亲属关系，历史户籍档案等能够反映，那么原户籍地公安派出所应当依据户籍登记及变动轨迹信息出具亲属关系证明。但考虑到您从未和母亲在一个户口本上登记过，且出生医学证明已经遗失，这一途径可能无法直接应用。

在这种情况下，您可以尝试以下替代方案：

1. 寻找其他官方文件：

   • 检查是否有其他官方文件能够证明您与母亲的亲属关系，如父母的结婚证（如果未遗失且能体现您与母亲的关系）、您的出生公证（如果曾办理过）等。

2. 利用学籍或人事档案：

   • 如果您或您的母亲有保存完好的学籍档案或人事档案，这些档案中可能包含有关亲属关系的记录。您可以尝试联系相关学校或单位，请求他们出具相关证明。但需要注意的是，根据政策，公安机关通常不会直接依据这些档案出具亲属关系证明，但它们可以作为司法公正程序中的辅助证据。

3. 司法公正程序：

   • 如果上述途径均无法获得有效证明，您可以考虑通过司法公正程序来证明亲属关系。这通常涉及向法院提起诉讼或申请公证处进行公证。在此过程中，您需要提供尽可能多的证据来支持您的主张，如证人证言、照片、视频等。

4. 咨询当地公安机关或法律服务机构：

   • 鉴于不同地区的具体政策和操作流程可能有所不同，建议您直接咨询当地公安机关或法律服务机构，以获取更具体和针对性的指导。

在准备材料时，请确保所有文件的真实性和有效性，并尽可能提供原件或经过认证的复印件。同时，由于证明亲属关系可能涉及复杂的法律程序和证据收集，建议您在必要时寻求专业法律人士的帮助。

希望这些建议能对您有所帮助。如果您在办理过程中遇到任何困难或疑问，欢迎随时向我咨询。