劳动合同期满后，人才引进公益岗的劳动者与用人单位的劳动关系终止，但根据具体情况，存在续签、终止或经济补偿等不同处理方式。具体分析如下：

1. 续签劳动合同
   若用人单位希望继续留用劳动者，且劳动者同意续签，双方应在劳动合同期满前协商一致并重新签订书面劳动合同。根据《劳动合同法》第十四条，若劳动者在该单位连续工作满十年，或连续订立两次固定期限劳动合同且无《劳动合同法》第三十九条、第四十条规定的情形，劳动者提出续签无固定期限劳动合同的，用人单位应当续签。

2. 劳动合同终止
   若用人单位或劳动者任何一方不同意续签，劳动合同到期即终止。此时，用人单位需根据《劳动合同法》第四十六条第五项的规定，向劳动者支付经济补偿。经济补偿标准按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。

3. 特殊情形处理

   • 公益岗性质影响：若公益岗属于政府购买服务或特定政策扶持项目，劳动合同终止可能涉及政策衔接问题。例如，部分地区规定公益岗劳动者合同期满后，符合条件的可优先续签或转岗至其他公益性岗位。此时需结合地方性法规或政策文件综合判断。
     
   • 劳动者特殊保护：若劳动者处于孕期、产期、哺乳期，或医疗期内等法定情形，根据《劳动合同法》第四十二条、第四十五条，劳动合同应顺延至相应情形消失时终止，且用人单位不得以此为由拒绝续签或支付经济补偿。

4. 争议解决途径
   若双方就劳动合同终止或经济补偿产生争议，劳动者可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或通过调解、诉讼等途径解决。仲裁时效为一年，自劳动关系终止之日起计算。

建议：劳动合同期满前，用人单位与劳动者应提前沟通续签意向，明确权利义务。若涉及政策性公益岗，建议咨询当地人社部门或查阅相关政策文件，确保处理方式符合地方规定。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体法律问题。