结论前置：工作了十多年的老员工被辞退后，是否可以要求补偿或赔偿，以及具体的数额，主要取决于辞退的原因和具体情况。合法辞退时，用人单位需支付经济补偿；违法辞退时，则需支付赔偿金。
一、用人单位需支付经济补偿的情形
协商解除劳动合同：
- 根据《劳动合同法》第三十六条，若用人单位与劳动者协商一致解除劳动合同，用人单位需按劳动者在本单位工作的年限支付经济补偿。具体为每满一年支付一个月工资，工作十多年通常可获得十个月以上工资的经济补偿。这里的月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
无过失性辞退：
- 依据《劳动合同法》第四十条，若劳动者因患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的；或者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的；或者劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的，用人单位提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同，并需支付经济补偿。经济补偿标准同样为每满一年支付一个月工资。
经济性裁员：
- 根据《劳动合同法》第四十一条，若用人单位因企业破产法规定重整、生产经营严重困难、转产或技术革新等需要裁减人员，且符合法定条件，用人单位需按照员工的工作年限支付经济补偿。对于工作了十多年的老员工，同样会获得相应的经济补偿。
二、用人单位需支付赔偿金的情形
- 违法辞退：
- 若用人单位违反《劳动合同法》规定解除或终止劳动合同，如无任何合法理由辞退老员工，根据《劳动合同法》第八十七条，用人单位需按经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。即工作十多年的老员工可能获得二十多个月工资数额的赔偿。
三、用人单位无需支付补偿或赔偿的情形
- 劳动者存在过失：
- 根据《劳动合同法》第三十九条，若劳动者在试用期间不符合录用条件、严重违反规章制度、严重失职营私舞弊给用人单位造成重大损害、与其他用人单位建立劳动关系影响本职工作、以欺诈胁迫手段订立合同无效或被依法追究刑事责任，用人单位可以合法辞退且无需支付经济补偿或赔偿。
四、其他注意事项
程序合法性：
- 用人单位在辞退员工时，必须遵循相关法律法规和程序，如提前30日书面通知员工或支付代通知金（额外支付一个月工资），并通知工会等。若程序不合法，即使辞退理由合法，也可能面临支付赔偿金的风险。
个税处理：
- 经济补偿金在当地职工平均工资三倍以内的部分免税，超出部分需按个人所得税规定缴纳。这一点在计算实际到手的经济补偿或赔偿金时需要注意。
争议解决：
- 若员工对补偿金额有异议，或认为用人单位的辞退行为违法，可通过劳动仲裁机构申请仲裁或提起诉讼来维护自身权益。
总结与建议：工作了十多年的老员工在被辞退时，应首先判断辞退的合法性及原因，以确定自身是否有权要求经济补偿或赔偿。若对辞退的合法性或补偿金额有疑问，建议直接向我咨询，我会根据具体情况为你提供详细的法律分析和建议。