当您的狗在外面被别人家的狗咬伤，而对方拒绝承担住院及相关医疗费用时，您可以按照以下详细步骤来处理这个问题：
一、及时且全面地收集证据
医疗记录：
- 立即带您的狗去兽医处就医，并确保保留所有相关的医疗记录和费用单据。
- 这些记录应包括诊断证明、治疗费用清单、药品费用等，它们将是后续维权的重要依据。
现场证据：
- 如果可能，拍摄被咬伤的伤口照片，以及事故现场的照片或视频。
- 记录目击者的联系方式，并尽可能获取他们的证言，以证明事故的发生和责任归属。
报警记录：
- 向当地公安机关报案，说明情况并获取接警回执或相关记录。
- 警方可能会介入调查，并出具事故认定书，这将作为您维权的重要法律文件。
二、与对方进行协商
- 在收集了足够的证据后，尝试与狗主人进行友好且理性的协商。
- 明确表达您的诉求，即要求对方承担医疗费用和其他相关损失，并展示您所收集的证据。
- 如果对方同意承担责任并进行赔偿，建议签订书面协议，以确保双方权益得到法律保障。
三、寻求第三方调解
- 如果协商无果，您可以考虑寻求第三方调解机构的帮助，如社区调解委员会、动物保护组织或消费者协会等。
- 这些机构通常会提供免费的调解服务，并协助双方达成和解协议。
四、通过法律途径解决
提起民事诉讼：
- 若调解仍无法解决问题，您可以向人民法院提起诉讼，要求狗主人承担侵权责任并赔偿损失。
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，饲养的动物造成他人损害的，动物饲养人或者管理人应当承担侵权责任。
- 在诉讼过程中，您需要提供充分的证据来证明事故的发生、责任归属以及您所遭受的损失。
申请强制执行：
- 如果法院判决后对方仍不履行赔偿责任，您可以申请法院强制执行对方的财产，以确保您的权益得到实现。
五、注意事项
了解诉讼时效：
- 根据法律规定，身体受到伤害（在此情况下，可理解为宠物受到伤害导致的经济损失）要求赔偿的诉讼时效期间为三年。
- 因此，请务必在规定的时效期内提起诉讼，以免丧失胜诉权。
咨询专业律师：
- 在处理此类纠纷时，建议咨询专业律师的意见和帮助。
- 律师可以提供专业的法律指导，协助您准备诉讼材料，并提高您维权的成功率。
综上所述，面对此类纠纷，您应保持冷静和理性，按照上述步骤逐步处理，以确保您的权益得到最大程度的保障。