当员工劳动合同到期后，公司决定不与员工续签时，公司需要遵循一系列法律程序和操作步骤来确保合规性，并妥善处理与员工的关系。以下是对此问题的详细解答：

一、明确法律依据与义务

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条，劳动合同期满的，劳动合同终止。
   • 根据第四十六条，除用人单位维持或提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。

2. 公司义务：

   • 提前通知：公司应至少提前30天（部分地区如北京要求提前60天）书面通知员工不续签的决定。若未提前通知，可能需额外支付代通知金，通常为一个月工资。
   • 支付经济补偿：经济补偿按员工在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。月工资是指员工在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

二、具体操作步骤

1. 书面通知员工：

   • 公司应准备一份正式的书面通知，明确告知员工劳动合同到期不续签的决定，并说明经济补偿的支付方式和时间。

2. 计算经济补偿：

   • 根据员工的工作年限和离职前十二个月的平均工资，计算应支付的经济补偿金额。

3. 办理离职手续：

   • 为员工出具解除/终止劳动合同证明。
   • 办理档案和社会保险关系转移手续。
   • 结清工资、奖金、加班费等所有费用。

4. 支付经济补偿：

   • 按照计算出的经济补偿金额，及时支付给员工。

三、特殊情况处理

1. 长期员工保护：

   • 若员工在公司连续工作满十年，或连续订立二次固定期限劳动合同且无过错，公司不续签属于违法终止劳动合同。员工有权要求继续履行合同或要求公司支付二倍经济补偿金的赔偿金。

2. 医疗期内员工保护：

   • 如果员工处于法定医疗期内，劳动合同应顺延至医疗期结束。此时公司不续签属于违法解除劳动合同，需支付二倍经济补偿金的赔偿金。

四、注意事项

1. 时间限制：

   • 劳动仲裁时效为一年，若员工对公司不续签的决定或经济补偿有异议，应在一年内向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁。

2. 法律咨询：

   • 在处理此类复杂情况时，建议公司咨询专业律师，确保流程合规，避免法律风险。

3. 沟通与协商：

   • 在整个过程中，公司应保持与员工的良好沟通，解释不续签的原因，并就经济补偿等问题进行协商，以达成双方都能接受的解决方案。

4. 情绪管理：

   • 公司应关注员工的情绪变化，避免冲突升级，确保整个处理过程平稳、有序。

综上所述，当员工劳动合同到期后公司决定不续签时，公司应明确法律依据与义务，按照具体操作步骤进行处理，并特别注意特殊情况的处理和注意事项的遵守。这样既能确保公司的合规性，又能妥善处理与员工的关系，维护公司的声誉和形象。