结论：拒绝签竞业协议本身并不直接赋予公司开除员工的权利，但具体是否构成开除的合法理由，需结合竞业协议的性质、公司规章制度以及相关法律法规来综合判断。
详细分析：
竞业协议的性质：
- 竞业协议，通常指的是竞业限制协议，是用人单位与劳动者约定的，在解除或者终止劳动合同后，劳动者不得到与本单位生产或者经营同类产品、从事同类业务的有竞争关系的其他用人单位工作，或者自己开业生产或者经营同类产品、从事同类业务的协议。
- 竞业协议的签订应当遵循平等、自愿、协商一致的原则，且不得违反法律、法规的强制性规定。
公司开除员工的合法理由：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，公司开除员工（即解除劳动合同）通常需要基于员工存在严重违反公司规章制度、严重失职、营私舞弊给公司造成重大损害、被依法追究刑事责任等法定情形。
- 单纯拒绝签订竞业协议，并不直接构成上述法定开除情形之一。
拒绝签竞业协议的法律后果：
- 如果竞业协议是劳动合同的一部分或作为劳动合同的附件，且该协议本身合法有效，员工拒绝签订可能构成对劳动合同条款的违反。但即便如此，公司也不能直接以此为由开除员工，而应通过协商、调解或仲裁等途径解决争议。
- 如果竞业协议是单独签订的，且员工拒绝签订，公司同样不能直接开除员工。公司可以考虑是否继续与员工保持劳动关系，或者通过其他合法方式保护自身的商业秘密和竞争优势。
公司规章制度的影响：
- 如果公司规章制度中明确规定，拒绝签订竞业协议属于严重违反公司规章制度的行为，且该规章制度已经过民主程序制定并公示，那么公司可能在一定程度上拥有开除员工的权利。但即便如此，公司也需要确保规章制度的合法性和合理性，避免滥用权利。
实际操作建议：
- 对于公司而言，在要求员工签订竞业协议前，应确保协议内容的合法性和合理性，并充分告知员工协议的法律后果。
- 对于员工而言，如果对竞业协议有异议或担忧，应及时与公司沟通协商，寻求合理的解决方案。如果公司坚持要求签订且员工认为协议不合法或不合理，员工可以拒绝签订并通过法律途径维护自己的权益。
总结与建议：
拒绝签竞业协议本身并不直接构成公司开除员工的合法理由。公司在处理此类问题时，应遵循相关法律法规和公司规章制度，确保处理方式的合法性和合理性。如果双方无法达成一致意见，建议通过协商、调解或仲裁等途径解决争议。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。