结论：家人跟旅行团出国滞留，是否可以起诉旅行社，这取决于滞留的原因以及旅行社是否存在过错。以下从不同角度进行分析：
一、若滞留是由于旅行社的过错导致
法律背景：
- 根据《中华人民共和国旅游法》及相关规定，旅行社有义务按照合同约定为旅游者提供服务，并保障旅游者的人身、财产安全。
- 如果旅行社因过错导致旅游者滞留国外，如未按时办理签证、未安排合适的交通工具等，旅行社可能构成违约或侵权。
法律建议：
- 在这种情况下，你可以收集相关证据，如合同、行程单、滞留期间的费用支出凭证等，以证明旅行社的过错。
- 然后，你可以向旅行社提出索赔要求，包括因滞留产生的额外费用、精神损害赔偿等。
- 如果旅行社拒绝赔偿或协商无果，你可以考虑向法院提起诉讼，要求旅行社承担相应的法律责任。
二、若滞留是由于旅游者自身原因导致
法律背景：
- 如果滞留是由于旅游者自身原因，如擅自改变行程、违反当地法律法规等，那么旅行社通常不承担责任。
- 在这种情况下，旅游者需要自行承担因滞留产生的费用和责任。
法律建议：
- 如果滞留是由于你或你家人的过错导致，建议你尽快与旅行社沟通，了解滞留期间的注意事项和可能的解决方案。
- 同时，你也需要自行承担因滞留产生的额外费用，如住宿费、餐饮费等。
- 如果滞留期间遇到法律问题或需要协助，你可以寻求当地法律援助或咨询专业律师。
三、若滞留原因复杂，涉及多方责任
法律背景：
- 在某些情况下，滞留原因可能复杂多样，涉及旅行社、旅游者、第三方机构等多方责任。
- 例如，旅行社可能因不可抗力（如自然灾害、政治动荡等）导致行程变更或滞留，而旅游者也可能因个人原因（如健康问题、家庭紧急情况等）需要滞留。
法律建议：
- 在这种情况下，建议你首先与旅行社沟通，了解滞留的具体原因和可能的解决方案。
- 然后，你可以根据实际情况，分析各方责任，并尝试通过协商、调解等方式解决纠纷。
- 如果协商、调解无果，你可以考虑向法院提起诉讼，要求相关责任方承担相应的法律责任。在诉讼过程中，你需要提供充分的证据来证明各方的过错和责任。
进一步思考：在处理此类涉外纠纷时，除了考虑法律因素外，还需要考虑文化差异、语言障碍、国际法律适用等复杂问题。因此，我建议你如果有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。作为专业律师，我将根据你的具体情况提供有针对性的法律建议和解决方案。