结论：员工干了一个月零一天被辞退，用人单位可能面临支付经济补偿金、违法解除劳动合同的赔偿金以及未签订书面劳动合同的双倍工资等风险。具体风险需根据辞退的原因和程序来判断。

分析：

1. 经济补偿金：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，如果用人单位因非员工过错的原因（如经济性裁员、劳动合同到期不续签等）辞退员工，且员工在用人单位工作满一个月但不满六个月的，用人单位需要向员工支付半个月工资作为经济补偿金。
   • 例子：假设员工月工资为5000元，工作了一个月零一天后被合法辞退，用人单位需支付2500元作为经济补偿金。

2. 违法解除劳动合同的赔偿金：

   • 如果用人单位违法解除劳动合同（如无合法理由辞退员工、未按照法定程序辞退员工等），员工有权要求用人单位支付赔偿金。
   • 赔偿金的标准通常是经济补偿金的两倍。在员工工作满一个月但不满六个月的情况下，赔偿金即为一个月工资。
   • 例子：继续上述例子，如果用人单位违法辞退员工，则需支付5000元作为赔偿金。

3. 未签订书面劳动合同的双倍工资：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
   • 例子：如果员工工作了一个月零一天，且用人单位未与其签订书面劳动合同，那么用人单位除了支付正常的工资外，还需额外支付一个月的工资作为双倍工资的差额（但实际操作中，由于已经支付了一个月的工资，所以可能只需再支付一个月工资中的部分金额，具体根据实际工作天数和工资标准计算，但此处为简化说明，假设需支付整月工资作为差额的一部分，实际应按天计算）。不过，在仅工作一个月零一天的情况下，主要关注的是是否超过了“一个月”的期限，若确实超过，则存在支付双倍工资差额的风险，具体数额需根据实际情况计算。

建议：

• 用人单位：在辞退员工前，应仔细审查辞退的原因和程序是否符合法律规定，以避免不必要的法律风险。同时，应及时与员工签订书面劳动合同，以保障双方的权益。
• 员工：如果被用人单位辞退，且认为辞退行为违法或不合理，可以收集相关证据（如工作证、工资条、辞退通知等），并向当地劳动仲裁机构申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。

后续行动依据：

• 在处理此类劳动纠纷时，双方应依据《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规的规定，以及当地劳动仲裁机构或法院的裁判规则来行事。
• 如有需要，双方可以寻求专业律师的帮助，以更准确地理解法律规定和裁判规则，并制定有效的应对策略。

有问题可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供更详细的法律建议。