当地公安机关依然有权处理，且通常不会因被打的人跑到外地而丧失管辖权。具体分析如下：

1. 从案件性质来看：被打事件属于治安案件或刑事案件范畴。如果是治安案件，根据《中华人民共和国治安管理处罚法》规定，违反治安管理的行为由行为发生地的公安机关管辖，所以被打事件发生地的公安机关对案件有管辖权，不会因为被打者跑到外地就不再处理。例如，有人在A地被打，即便被打者之后去了B地，A地公安机关仍可依据相关规定对打人者进行调查、处理等。如果是刑事案件，依据《中华人民共和国刑事诉讼法》，刑事案件由犯罪地的公安机关管辖，犯罪地包括犯罪行为发生地和犯罪结果发生地等，所以当地公安机关对案件有管辖权，不会因被打者离开而改变。
2. 从实际处理流程来看：当地公安机关在接到报案后，会启动调查程序，收集证据，如现场勘查、询问证人等。即便被打者去了外地，公安机关也可以通过多种方式继续推进案件处理。一方面，可以联系被打者，要求其配合调查，比如通过电话、视频等方式询问情况，或者要求其返回当地接受询问；另一方面，如果被打者因受伤等原因在外地治疗，公安机关也可以前往外地对其进行询问，或者委托当地公安机关协助询问。
3. 从特殊情况来看：如果被打者跑到外地后，当地公安机关认为由外地公安机关处理更为适宜，比如被打者长期居住在外地，相关证据也主要在外地等情况，当地公安机关可以与有管辖权的外地公安机关协商，经同意后将案件移交外地公安机关处理。但这并不意味着当地公安机关没有处理权，只是基于实际情况的一种工作协调。

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