结论：老师遭到学生恐吓威胁并已经导致严重的精神疾病，公安机关是否会立案处理，这取决于具体情况，但一般来说，如果恐吓威胁行为达到了一定的严重程度，公安机关是有可能立案处理的。
分析如下：
恐吓威胁行为的性质：
- 恐吓威胁行为如果构成违法或犯罪，那么公安机关就有权进行立案处理。根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，写恐吓信或者以其他方法威胁他人人身安全的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款；情节较重的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款。如果恐吓威胁行为情节严重，甚至可能构成《中华人民共和国刑法》中的寻衅滋事罪或其他相关罪名。
精神疾病的后果：
- 老师因学生的恐吓威胁行为导致严重的精神疾病，这显示了恐吓威胁行为的严重性和危害性。在判断是否立案时，公安机关会考虑行为的后果，包括是否对受害者造成了实质性的伤害。精神疾病作为一种严重的后果，很可能成为公安机关立案的重要依据。
立案的具体条件：
- 公安机关立案通常需要满足一定的条件，包括有犯罪事实发生、需要追究刑事责任、以及属于自己管辖范围等。在老师遭到学生恐吓威胁并导致严重精神疾病的情况下，如果公安机关认为存在犯罪事实，且需要追究刑事责任，同时该案件属于其管辖范围，那么就有可能立案处理。
实际操作中的考量：
- 在实际操作中，公安机关会综合考虑多种因素来决定是否立案，包括恐吓威胁的具体内容、方式、频率、持续时间，以及受害者的反应和后果等。如果恐吓威胁行为具有明确的针对性、恶意性和持续性，且已经对老师造成了严重的精神损害，那么公安机关立案的可能性就会增大。
建议：
- 如果老师或相关人士认为学生的恐吓威胁行为已经构成了违法或犯罪，且已经导致了严重的精神疾病，那么应该及时向公安机关报案，并提供相关证据和材料。
- 在报案时，应详细描述恐吓威胁的具体情况，包括时间、地点、方式、内容等，以及老师因此遭受的精神损害和后果。
- 公安机关在接到报案后，会进行调查和取证工作，根据调查结果来决定是否立案处理。如果立案，将依法进行侦查和起诉工作。
后续行动：
- 如果公安机关决定不立案，老师或相关人士可以向上级公安机关或检察机关提出申诉或复议申请。
- 在整个过程中，老师或相关人士可以寻求法律援助或咨询专业律师，以更好地维护自己的合法权益。
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