结论前置：病重缺席开庭本身并不直接构成申请延长上诉期的法定理由，但若因病重导致无法在上诉期内完成上诉行为，可以依法申请顺延上诉期限。

详细分析：

1. 上诉期限的基本规定：

   • 根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释的规定，当事人对一审判决不服的，有权在判决书送达之日起十五日内向上一级人民法院提起上诉。这是上诉期限的基本规定，当事人需严格遵守。

2. 病重缺席开庭与上诉期限的关系：

   • 病重缺席开庭，通常指的是当事人因健康原因无法出席一审的庭审活动。然而，上诉期限的计算是从当事人收到一审判决书之日起开始计算的，与是否出席庭审无直接关系。因此，病重缺席开庭本身并不构成申请延长上诉期的直接理由。

3. 申请顺延上诉期限的法定情形：

   • 若当事人因病重等不可抗力或其他正当理由，导致无法在上诉期内完成上诉行为（如准备上诉材料、提交上诉状等），可以依法向人民法院申请顺延上诉期限。这里的“不可抗力或其他正当理由”需要当事人提供充分的证据予以证明，如医疗证明、诊断书等。

4. 申请顺延上诉期限的程序：

   • 当事人应在障碍消除后的十日内，向人民法院提出顺延上诉期限的申请，并附上相关证明材料。人民法院在审查后，认为符合法定条件的，会裁定准许顺延上诉期限。

法律建议：

• 若您或您的家人因病重无法在上诉期内完成上诉行为，建议尽快收集相关医疗证明、诊断书等证据材料，并在障碍消除后的十日内向人民法院提出顺延上诉期限的申请。
• 在申请过程中，务必确保提供的证据材料真实、完整、有效，以支持您的申请理由。
• 若对申请顺延上诉期限的程序或所需材料有疑问，建议直接咨询我或当地人民法院，以获取更具体的法律指导。

可能法律后果：

• 若未在上诉期内提起上诉，且未依法申请顺延上诉期限，则一审判决将发生法律效力，当事人将失去上诉的权利。
• 若申请顺延上诉期限被人民法院驳回，且未在原上诉期内提起上诉，同样会导致一审判决发生法律效力。因此，在申请顺延上诉期限时，务必确保符合法定条件，并提供充分的证据材料。