结论：在狗狗病死且钱已退给对方的情况下，对方仍起诉要求赔偿，是否需要承担赔偿责任需根据具体情况判断，包括是否存在其他过错、合同条款约定以及对方起诉的具体理由等。以下从不同角度进行分析：
一、合同履行与违约责任
合同履行情况：
- 如果双方之间存在关于狗狗买卖或寄养的合同，且合同中明确规定了狗狗的健康状况、死亡责任承担等条款，那么应首先依据合同条款来判断责任。
- 若合同中约定了狗狗在特定期间内死亡，卖方或寄养方需承担一定责任（如退款、赔偿等），且你已按照合同约定退款，但对方仍认为赔偿不足或存在其他损失，对方可能基于合同条款起诉要求额外赔偿。
违约责任：
- 如果合同中没有明确约定狗狗死亡的责任承担，或者约定不明确，那么需要依据《中华人民共和国民法典》中关于合同违约责任的规定来判断。
- 一般情况下，如果狗狗的死亡是由于你的过错（如疏忽照顾、未提供适宜环境等）导致的，你可能需要承担违约责任，包括赔偿对方因此遭受的损失。
- 但如果狗狗的死亡是由于不可抗力（如疾病突发、意外事件等）或对方自身原因（如未按照约定方式照顾狗狗）导致的，则你可能不需要承担赔偿责任。
二、侵权责任
侵权行为构成：
- 如果狗狗的死亡是由于你的故意或过失行为导致的，且该行为侵犯了对方的合法权益（如财产权、健康权等），则可能构成侵权行为。
- 在这种情况下，对方有权依据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的规定，要求你承担侵权责任，包括赔偿损失等。
侵权责任免除：
- 如果狗狗的死亡是由于不可抗力或对方自身原因导致的，且你没有过错，那么你可能不需要承担侵权责任。
- 此外，如果对方在狗狗死亡过程中也存在过错（如未及时采取救治措施等），那么你的赔偿责任可能会相应减轻或免除。
三、对方起诉的具体理由与应对策略
起诉理由分析：
- 对方起诉要求赔偿的具体理由可能包括合同违约、侵权行为等。你需要仔细分析对方的起诉状和证据材料，了解对方的具体诉求和事实依据。
应对策略：
- 收集证据：收集与狗狗死亡相关的所有证据材料，包括医疗记录、照片、视频、证人证言等，以证明你的无过错或对方存在过错。
- 咨询律师：在了解对方起诉的具体理由和证据材料后，咨询专业律师（即我，林威律师，专注于经济纠纷、侵权纠纷等领域）的意见，制定应对策略。
- 参与诉讼：按照法院的通知和要求参与诉讼活动，包括提交答辩状、参加庭审等，积极维护自己的合法权益。
四、可能面临的法律后果
赔偿损失：
- 如果法院认定你需要承担赔偿责任，那么你可能需要赔偿对方因狗狗死亡而遭受的直接损失（如购买价格、医疗费用等）和间接损失（如精神损害抚慰金等）。
其他法律后果：
- 除了赔偿损失外，如果法院认定你的行为构成侵权或违约，还可能对你采取其他法律措施，如责令改正、罚款等。但这种情况在狗狗死亡纠纷中较为罕见。
建议：在面对对方起诉要求赔偿的情况下，建议你首先保持冷静，不要与对方发生争执或冲突。然后，尽快收集相关证据材料，并咨询专业律师（即我）的意见。根据律师的建议制定应对策略，并积极参与诉讼活动，以维护自己的合法权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。