结论：能否要求被告公司的股东承担连带责任，不能一概而论，需要结合具体情况来判断。以下从不同角度进行分析：
一、股东承担连带责任的一般情形
在通常情况下，公司作为独立的法人实体，以其全部财产对公司的债务承担责任，股东仅以其出资额为限对公司承担有限责任。然而，在某些特定情形下，股东可能需要对公司债务承担连带责任。这些情形主要包括：
股东滥用公司法人独立地位和股东有限责任：
- 如果股东滥用公司法人独立地位和股东有限责任，逃避债务，严重损害公司债权人利益的，根据《中华人民共和国公司法》第二十条第三款的规定，股东应当对公司债务承担连带责任。
- 例如，股东将公司财产与个人财产混同，或者利用公司进行欺诈等违法行为，都可能构成滥用公司法人独立地位和股东有限责任。
股东未履行或未全面履行出资义务：
- 如果股东未按照公司章程的规定履行出资义务，或者未全面履行出资义务，根据相关法律规定，股东可能需要在未出资本息范围内对公司债务不能清偿的部分承担补充赔偿责任。
- 在某些情况下，如果其他股东存在过错（如协助抽逃出资等），也可能需要承担连带责任。
一人有限责任公司股东的特殊责任：
- 对于一人有限责任公司，如果股东不能证明公司财产独立于股东自己的财产的，根据《中华人民共和国公司法》第六十三条的规定，股东应当对公司债务承担连带责任。
二、结合本案情况的分析
在本案中，被告公司的股东和被告公司都曾经向原告支付过货款。这一事实本身并不直接决定股东是否需要承担连带责任，但可能作为判断股东是否滥用公司法人独立地位和股东有限责任的线索之一。
如果股东支付货款的行为构成滥用公司法人独立地位和股东有限责任：
- 例如，股东频繁地将公司资金转入个人账户，或者以个人名义支付公司债务，且这种行为导致公司财产与个人财产混同，严重损害了公司债权人的利益，那么股东可能需要对公司债务承担连带责任。
如果股东支付货款的行为是正常的商业行为：
- 如果股东支付货款的行为是基于正常的商业往来，且没有损害公司债权人的利益，那么股东通常不需要对公司债务承担连带责任。
其他需要考虑的因素：
- 还需要考虑股东是否履行了出资义务、公司是否存在其他违法行为（如欺诈、逃税等）以及这些行为是否与公司债务有关等因素。
三、建议与后续行动
收集证据：
- 如果您认为股东需要承担连带责任，建议收集相关证据，如公司财务记录、股东支付货款的凭证、股东与公司之间的资金往来记录等。
咨询专业律师：
- 由于判断股东是否需要承担连带责任涉及复杂的法律问题和事实认定，建议您咨询专业律师（当然，您可以直接向我咨询，我专注于公司事务领域）。律师可以根据您的具体情况和提供的证据，给出更具体的法律意见和建议。
考虑诉讼策略：
- 如果决定通过诉讼解决争议，律师可以帮助您制定合适的诉讼策略，包括确定被告、选择管辖法院、准备诉讼材料等。
总之，能否要求被告公司的股东承担连带责任需要根据具体情况来判断。如果您有进一步的疑问或需要更具体的法律帮助，请随时向我咨询。