在无第一顺序继承人的情况下，可通过以下方式证明，核心在于收集并提交能证实第一顺序继承人不存在或已丧失继承权的证据：
收集亲属关系证明文件
首先需证明被继承人没有第一顺序继承人（配偶、子女、父母）。可向公安机关申请出具《亲属关系证明》，或调取户籍档案、出生证明、结婚证等文件，确认被继承人无配偶、子女，且父母已先于其死亡。若第一顺序继承人存在但已丧失继承权（如故意杀害被继承人、遗弃被继承人等），需收集法院生效裁判文书或公证文书等证据证明其丧失继承权。
申请司法鉴定或调查取证
若对第一顺序继承人的存在存疑（如被继承人可能有非婚生子女），可通过DNA鉴定、证人证言等方式排除可能性。必要时可向法院申请调查令，查询被继承人的医疗记录、社保信息等，确认无其他潜在继承人。
办理继承权公证或提起诉讼
若证据充分，可向公证处申请办理继承权公证，由公证机构出具《继承权公证书》，明确第二顺序继承人（兄弟姐妹、祖父母、外祖父母）的继承资格。若其他继承人对继承顺序有争议，可直接向法院提起继承纠纷诉讼，由法院通过庭审调查、证据质证等程序，最终判决确认继承人范围及继承份额。
提示：实践中，无第一顺序继承人的情况常涉及隐名继承人、非婚生子女等复杂情形，建议提前梳理被继承人的亲属关系图谱，并保留所有证据的原件及复印件。若证据收集困难，可随时向我咨询具体操作流程。