在没有第一顺序继承人的情况下，可通过提供亲属关系证明、死亡证明、公证书或法院判决书等文件，向银行证明继承关系及自身继承权。具体说明如下：

1. 明确第一顺序继承人的范围及缺失情况
   根据《民法典》第1127条，第一顺序继承人包括配偶、子女、父母。若被继承人无上述亲属（如未婚未育且父母已故），则需通过法律文件证明这一事实。此时，第二顺序继承人（兄弟姐妹、祖父母、外祖父母）可依法继承，但需先排除第一顺序继承人的存在。

2. 向银行证明的关键文件及流程

   • 亲属关系证明：由公安机关、居委会或村委会出具，证明被继承人无配偶、子女、父母。例如，户籍档案中无配偶登记记录，或父母已故的死亡证明。
     
   • 死亡证明：若第一顺序继承人已去世，需提供其死亡证明（如医院出具的死亡医学证明、火化证明等），以证明其无法继承。
     
   • 公证书或法院判决书：
     
     • 公证继承：所有继承人（包括第二顺序）可共同到公证处办理继承权公证，由公证处出具《继承权公证书》，明确继承份额及继承人身份。
       
     • 诉讼继承：若继承人之间对继承权有争议，可向法院提起继承纠纷诉讼，由法院出具判决书或调解书，确认继承人资格及份额。
       
   • 银行要求的其他材料：部分银行可能要求填写《继承权确认书》或提供继承人身份证明（如身份证、户口本）、被继承人银行卡、存折等。

3. 特殊情况处理

   • 无第二顺序继承人：若被继承人无任何法定继承人（如独生子女且父母已故，且无兄弟姐妹、祖父母、外祖父母），其遗产将归国家所有（用于公益事业）或集体所有制组织所有（如村委会）。此时需提供证明无继承人的文件，银行将按流程处理。
     
   • 遗嘱继承或遗赠扶养协议：若被继承人生前立有有效遗嘱或遗赠扶养协议，指定非法定继承人为继承人，需提供遗嘱公证书或协议原件，银行将按遗嘱或协议内容办理。

行动建议：

1. 收集被继承人及潜在继承人的户籍档案、死亡证明、亲属关系证明等基础材料；
   
2. 联系公证处或法院，根据是否存在争议选择办理公证或诉讼；
   
3. 携带公证书、判决书或调解书及其他银行要求文件，前往银行办理继承手续。
   

如有进一步疑问（如具体文件格式、公证流程细节），可直接向我咨询。