结论：老师吓唬孩子签退学协议书，这一行为是否违法需分情况讨论，但通常涉及违法或不当行为的可能性较大。以下从不同角度进行详细分析：
从孩子年龄及民事行为能力角度
- 若孩子为无民事行为能力人（通常指不满8周岁的未成年人）：他们无法独立进行民事法律行为，包括签订退学协议书。此时，即使老师吓唬孩子，孩子所签订的协议也是无效的。老师的行为不仅可能构成对孩子的心理伤害，还可能因诱导无效民事行为而承担一定的法律责任。
- 若孩子为限制民事行为能力人（通常指8周岁以上但不满18周岁的未成年人，但16周岁以上以自己的劳动收入为主要生活来源的除外）：他们可以进行与其年龄、智力相适应的民事法律行为。然而，签订退学协议书通常不属于此类行为，尤其是当孩子明确表示不愿意或受到老师吓唬时。此时，老师的行为可能构成对孩子的胁迫，导致协议可撤销或无效。
从老师行为性质角度
- 吓唬行为本身：如果老师的吓唬行为达到了足以使孩子产生恐惧心理，并因此签订退学协议书的程度，那么这一行为可能构成胁迫。根据《民法典》的相关规定，因胁迫而实施的民事法律行为，受胁迫方有权请求人民法院或者仲裁机构予以撤销。
- 教育机构责任：教育机构有责任保护学生的身心健康和合法权益。如果老师的行为被认定为违法或不当，教育机构可能需要承担相应的管理责任，包括对老师进行处分、向学生及家长道歉、赔偿损失等。
从法律后果角度
- 协议效力：如前所述，因胁迫而签订的退学协议书可能是可撤销或无效的。这意味着孩子或其家长有权要求撤销该协议，恢复孩子的学籍。
- 法律责任：老师可能因胁迫行为而承担民事责任，如赔偿孩子因退学而遭受的损失（如学费、生活费等）。在极端情况下，如果老师的吓唬行为构成了犯罪（如虐待被监护、看护人罪等），还可能面临刑事责任。
建议：
- 如果孩子遭遇了此类情况，家长应首先与孩子沟通，了解事情的全貌，并安抚孩子的情绪。
- 家长可以与学校或教育机构进行沟通，要求学校对老师的行为进行调查和处理。
- 如果学校或教育机构未能妥善处理，家长可以向当地的教育行政部门或相关法律机构寻求帮助，以维护孩子的合法权益。
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