催告函的送达方式并非一定要邮寄，而是可以根据实际情况和法律规定选择多种送达方式。
首先，根据行政强制法的规定，催告函应当直接送达当事人。这是最直接且通常最有效的方式，可以确保当事人及时收到并了解催告内容。
然而，如果当事人拒绝接收或者无法直接送达，那么就需要依照民事诉讼法的有关规定进行送达。民事诉讼法提供了多种送达方式，包括但不限于：
留置送达：当受送达人或者他的同住成年家属拒绝接收诉讼文书时，送达人可以邀请有关基层组织或者所在单位的代表到场，说明情况，并在送达回证上记明拒收事由和日期，由送达人、见证人签名或者盖章后，把诉讼文书留在受送达人的住所。这种方式也视为有效送达。
邮寄送达：如果直接送达和留置送达都无法实现，那么可以选择邮寄送达。通过邮寄方式将催告函发送至当事人的注册地址、户籍地址或经常居住地等，并保留好邮寄凭证作为送达证据。
公告送达：在采用直接、邮寄等方式均无法送达的情况下，可以通过公告的方式送达。公告送达通常是在报纸、网站或其他公共媒体上发布送达公告，自公告发布之日起经过一定期限（如30日）即视为送达。
从您提供的参考信息中也可以看到，广州市荔湾区白鹅潭开发建设中心在无法直接和邮寄送达催告函的情况下，选择了公告送达的方式。
因此，催告函的送达方式并非固定为邮寄，而是可以根据实际情况和法律规定选择最合适的送达方式。在选择送达方式时，应优先考虑直接送达，如果无法实现再考虑其他送达方式，并确保送达过程符合法律规定，以保障当事人的合法权益。