催告函的发送方式并不局限于寄送信件这一种形式。虽然寄送信件是一种常见且正式的方式，用于确保催告内容的正式性和可追溯性，但在实际操作中，根据具体情况和需求，催告函还可以通过其他多种方式发送。
首先，我们明确催告函的核心目的是通知或催促对方履行某项义务或责任。为了达到这一目的，发送方式需要确保对方能够及时、准确地接收到催告内容。
除了寄送信件外，以下方式也是可行的：
电子邮件：在双方有电子邮件往来记录，且电子邮件被视为正式沟通渠道的情况下，通过电子邮件发送催告函是一种高效且便捷的方式。电子邮件可以附带正式的催告函文档，并要求对方确认接收。
传真：虽然传真在现代通信中的使用频率有所降低，但在某些行业或地区，传真仍然被视为一种正式的沟通方式。如果双方有传真往来记录，且传真被视为有效接收方式，那么通过传真发送催告函也是可行的。
公告送达：在特定情况下，如无法直接联系到对方或对方拒绝接收催告函时，可以通过公告送达的方式。这通常涉及在官方网站、报纸或其他公共媒体上发布催告公告，并规定一定的公告期限，期限届满即视为送达。
直接送达：如果可能且方便，直接将催告函交给对方或其授权代表也是一种有效的方式。这种方式可以确保对方立即接收到催告内容，并有机会进行即时沟通。
在您提到的案例中，南通崇川经济开发区管理委员会在无法通过邮寄送达、直接送达等方式向江苏海湾电气科技有限公司送达催告书的情况下，选择了公告送达的方式。这表明在特定情况下，公告送达是一种合法且有效的催告函发送方式。
综上所述，催告函的发送方式并不局限于寄送信件，而是可以根据具体情况和需求选择多种方式。在选择发送方式时，应确保对方能够及时、准确地接收到催告内容，并遵守相关法律法规和程序要求。