结论概述：首次执行未提出迟延履行金，恢复执行时是否支持，需视具体情况而定。一般来说，如果迟延履行金在首次执行时未被明确放弃或未超过申请执行时效，恢复执行时仍有可能获得支持。

详细分析：

1. 迟延履行金的性质与目的：

   • 迟延履行金是法律对被执行人未按判决、裁定或其他法律文书指定期间履行给付金钱义务的一种惩罚性措施，旨在督促被执行人及时履行义务，并补偿申请执行人因迟延履行所遭受的损失。

2. 首次执行未提出迟延履行金的情况：

   • 在首次执行过程中，如果申请执行人未明确提出迟延履行金的请求，这并不意味着该权利被永久放弃。关键在于，迟延履行金的请求权是否仍在申请执行时效内，以及是否有其他法律障碍阻止其提出。

3. 恢复执行时迟延履行金的支持情况：

   • 申请执行时效内：如果迟延履行金的请求权仍在申请执行时效内（通常为两年，自法律文书规定履行期间的最后一日起计算；法律文书规定分期履行的，从规定的每次履行期间的最后一日起计算；法律文书未规定履行期间的，从法律文书生效之日起计算），且申请执行人能够提供充分证据证明被执行人存在迟延履行行为，那么在恢复执行时，迟延履行金仍有可能获得法院的支持。
   • 超过申请执行时效：如果迟延履行金的请求权已经超过申请执行时效，且被执行人提出时效抗辩，那么法院将不再支持迟延履行金的请求。
   • 明确放弃：如果在首次执行过程中，申请执行人明确表示放弃迟延履行金的请求，并记录在执行笔录或相关法律文书中，那么在恢复执行时，将不能再主张迟延履行金。

4. 实际操作建议：

   • 及时主张权利：申请执行人应在首次执行时或恢复执行前，仔细审查法律文书及执行情况，确保及时主张迟延履行金等权利。
   • 保留证据：申请执行人应保留好证明被执行人迟延履行的相关证据，如执行通知书、送达回证、银行转账记录等，以便在恢复执行时提供有力支持。
   • 咨询专业律师：由于执行程序复杂且涉及法律专业知识，申请执行人在遇到相关问题时，应及时咨询专业律师，以确保自身权益得到最大保障。

特殊情况说明：

• 如果首次执行因某种原因被终结或中止，且之后恢复执行，那么迟延履行金的请求权是否受影响，还需根据具体终结或中止的原因来判断。例如，如果终结执行是因为被执行人确无财产可供执行，且之后发现了新的财产线索而恢复执行，那么迟延履行金的请求权通常不受影响。

总结与建议：

• 首次执行未提出迟延履行金，并不意味着该权利被永久放弃。在恢复执行时，是否支持迟延履行金，需根据具体情况判断，包括申请执行时效、是否明确放弃以及是否存在其他法律障碍等。
• 申请执行人应密切关注执行进展，及时主张权利，并保留好相关证据。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。