核心结论：在原夫妻共同借款，离婚后诉讼时效已过的情况下，若一人提出时效抗辩而另一人未提出，法院的处理方式会因诉讼阶段及具体情形有所不同，具体如下：
在诉讼过程中：
- 若提出时效抗辩的一方为被告：根据《中华人民共和国民法典》及相关司法解释，诉讼时效抗辩是当事人的法定权利。若一方被告在诉讼中明确提出诉讼时效抗辩，且该抗辩符合法律规定（即债权确实已过诉讼时效期间），法院将对该抗辩进行审查。若审查确认债权已过诉讼效期间，且无法定中止、中断或延长事由，法院将驳回原告对该被告的诉讼请求。
- 若未提出时效抗辩的一方也为被告：对于未提出时效抗辩的被告，法院通常不会主动审查或适用诉讼时效规定。这意味着，即使债权对另一被告已过诉讼时效，只要该被告未提出抗辩，法院仍可能判决其承担还款责任。但需注意，若该被告在后续执行程序中提出时效抗辩，且抗辩成立，法院将裁定不予执行。
- 特殊情况：若提出时效抗辩的被告能证明债权已过诉讼时效，且该抗辩效力及于另一未提出抗辩的被告（例如，因借款为夫妻共同债务，且双方离婚时未对债务承担作出明确约定），法院可能基于公平原则和案件实际情况，对另一被告的还款责任进行相应调整。但这种情况较为复杂，需具体案件具体分析。
在执行阶段：
- 若判决已生效且进入执行程序：若提出时效抗辩的被告在诉讼中未成功抗辩，或未提出抗辩，导致法院判决其承担还款责任，且该判决已生效并进入执行程序，该被告在执行阶段原则上不能再以诉讼时效抗辩为由拒绝履行。但如前所述，若其能提供充分证据证明债权在执行阶段已过诉讼时效（尽管这种情况较为罕见），且法院认可其抗辩，法院可能裁定不予执行。
- 对于未提出时效抗辩的被告：若其在诉讼中未被判决承担还款责任，或判决未涉及对其的还款要求，则执行程序通常不会涉及对其的强制执行。若判决涉及对其的还款要求，且其未在诉讼中提出时效抗辩，执行阶段同样原则上不能拒绝履行。
建议：
- 对于提出时效抗辩的一方：应确保在诉讼中及时、明确地提出抗辩，并提供充分证据证明债权已过诉讼时效期间。同时，关注另一被告的诉讼行为，必要时可申请法院追加其为共同被告或第三人，以便在诉讼中全面解决债务承担问题。
- 对于未提出时效抗辩的一方：若认为债权已过诉讼时效，应及时向法院提出抗辩，以免丧失权利。若因故未能在诉讼中提出抗辩，可在执行阶段关注对方是否提出时效抗辩，并准备相应证据和理由进行应对。
- 对于双方：在离婚时，应就共同债务的承担作出明确约定，并告知债权人。这有助于减少后续因债务承担问题产生的纠纷和诉讼风险。
如有具体案件或更复杂的法律问题，欢迎直接向我咨询，我将根据具体情况提供详细、专业的法律意见。