结论：申请抗诉请求一审二审外的法院重审，通常需以发现新证据、原判决适用法律错误、程序违法等理由，依据《中华人民共和国民事诉讼法》《中华人民共和国刑事诉讼法》等相关法律中关于审判监督程序的规定进行申请，表述上要清晰阐述理由、事实依据及法律依据。以下是详细说明：

申请抗诉请求一审二审外法院重审的理由

1. 有新的证据，足以推翻原判决、裁定
   • 在民事诉讼中，如果在判决、裁定生效后，当事人发现了新的证据，且该证据足以改变原判决、裁定的结果，就可以作为申请抗诉请求重审的理由。例如，在一场合同纠纷案件中，一审二审均未发现对方在签订合同时存在欺诈的关键证据，但在判决生效后，当事人偶然获得了能证明对方欺诈的书面材料，这就可以作为新证据申请抗诉。
   • 在刑事诉讼中同样如此，新的证据可能包括能证明犯罪嫌疑人无罪、罪轻或者应当减轻、免除刑事责任的证据。比如，在故意伤害案件中，原判决依据的证人证言存在偏差，之后出现了新的证人能证明犯罪嫌疑人没有实施伤害行为，这就是新的有力证据。
2. 原判决、裁定认定事实的主要证据不足
   • 民事诉讼里，如果原判决、裁定所依据的主要证据存在瑕疵，如证据的真实性、合法性、关联性受到质疑，或者证据不足以证明案件事实，就可以申请抗诉。例如，在借贷纠纷案件中，原告仅提供了一份没有借款人签字确认的借条复印件作为主要证据，而法院据此作出了判决，这种情况下主要证据不足，可申请抗诉。
   • 刑事诉讼中，若认定犯罪事实的主要证据不充分，不能形成完整的证据链，无法排除合理怀疑，也可以作为申请抗诉的理由。比如，在盗窃案件中，仅凭受害人的陈述和现场模糊的监控视频，没有其他证据佐证犯罪嫌疑人的行为，就可能存在认定事实主要证据不足的情况。
3. 原判决、裁定适用法律确有错误
   • 无论是民事还是刑事诉讼，如果法院在判决、裁定中适用的法律条文错误，导致判决结果不公正，就可以申请抗诉。例如，在民事侵权案件中，本应适用过错责任原则，但法院却错误地适用了无过错责任原则，从而作出了对当事人不利的判决，这就属于适用法律错误。
   • 在刑事诉讼中，适用法律错误可能涉及对犯罪性质的认定错误、量刑幅度的选择错误等。比如，将本应认定为故意伤害罪的案件错误认定为寻衅滋事罪，导致量刑不当。
4. 违反法定诉讼程序，可能影响公正审判
   • 民事诉讼中，如果法院在审理过程中违反了法定程序，如应当回避的审判人员没有回避、未经开庭审理就作出判决、剥夺了当事人的辩论权利等，可能影响案件的公正审判，就可以申请抗诉。
   • 刑事诉讼中，程序违法的情况更为严格，如违反公开审判规定、违反回避制度、审判组织的组成不合法等，都可能成为申请抗诉的理由。例如，在刑事案件审理中，合议庭成员中有一名法官与案件当事人有利害关系，但未回避，继续参与审理并作出判决，这就违反了法定诉讼程序。

法律依据

1. 民事诉讼法相关规定
   • 《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零七条规定，当事人的申请符合下列情形之一的，人民法院应当再审：……（五）对审理案件需要的主要证据，当事人因客观原因不能自行收集，书面申请人民法院调查收集，人民法院未调查收集的；（六）原判决、裁定认定事实的主要证据不足的；（七）原判决、裁定适用法律确有错误的；……（十一）未经传票传唤，缺席判决的；（十二）原判决、裁定遗漏或者超出诉讼请求的；……。这些情形都可以作为申请抗诉请求重审的法律依据。
   • 该法第二百一十五条规定，最高人民检察院对各级人民法院已经发生法律效力的判决、裁定，上级人民检察院对下级人民法院已经发生法律效力的判决、裁定，发现有本法第二百零七条规定情形之一的，或者发现调解书损害国家利益、社会公共利益的，应当提出抗诉。
2. 刑事诉讼法相关规定
   • 《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百五十三条规定，当事人及其法定代理人、近亲属的申诉符合下列情形之一的，人民法院应当重新审判：（一）有新的证据证明原判决、裁定认定的事实确有错误，可能影响定罪量刑的；（二）据以定罪量刑的证据不确实、不充分的；（三）据以定罪量刑的证据依法应当予以排除的；（四）据以定罪量刑的证据之间、证据与案件事实之间存在矛盾的；（五）原判决、裁定适用法律确有错误的；（六）违反法律规定的诉讼程序，可能影响公正审判的；……。这些规定为刑事案件中申请抗诉请求重审提供了依据。
   • 该法第二百五十四条规定，最高人民检察院对各级人民法院已经发生法律效力的判决和裁定，上级人民检察院对下级人民法院已经发生法律效力的判决和裁定，如果发现确有错误，有权按照审判监督程序向同级人民法院提出抗诉。

表述方式

在申请抗诉请求一审二审外法院重审的申请书中，表述要清晰、准确、有条理。一般包括以下几个部分：

1. 申请人信息：写明申请人的姓名、性别、年龄、民族、职业、工作单位、住所、联系方式等基本信息。
2. 申请事项：明确提出申请抗诉，请求对案件进行再审，由一审二审外的法院重新审理。
3. 事实与理由
   • 详细阐述发现的新证据情况，包括证据的来源、内容、证明力等，说明新证据足以推翻原判决、裁定。
   • 若认为原判决、裁定认定事实的主要证据不足，要具体指出哪些主要证据存在问题，以及这些问题对案件事实认定的影响。
   • 对于原判决、裁定适用法律错误的情况，要准确引用相关法律条文，说明法院适用错误的具体表现和后果。
   • 若存在违反法定诉讼程序的情形，要说明违反的具体程序规定以及可能对公正审判产生的影响。
4. 法律依据：明确列出所依据的法律条文，如上述民事诉讼法或刑事诉讼法的相关规定。
5. 结尾：写明此致的具体检察院名称，并由申请人签名、注明申请日期。

例如，在一份民事申请抗诉书中可以这样表述：“申请人因与被申请人[对方当事人姓名] [案由]一案，不服[一审法院名称]（[一审案号]）民事判决和[二审法院名称]（[二审案号]）民事判决，现依法向贵院申请抗诉。事实与理由如下：一、有新的证据足以推翻原判决。申请人在判决生效后，发现了[具体新证据名称]，该证据能够证明[具体证明内容]，与原判决认定的事实相悖。二、原判决认定事实的主要证据不足。原判决主要依据[列举主要证据]认定案件事实，但这些证据存在[说明证据存在的问题]，无法形成完整的证据链，不能证明案件事实。三、原判决适用法律确有错误。本案应适用[正确法律条文]，但法院却错误地适用了[错误适用法律条文]，导致判决结果错误。综上所述，根据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零七条、第二百一十五条之规定，特向贵院申请抗诉，请求对本案进行再审。”

如果你还有其他关于法律申请抗诉方面的问题，可以直接向我咨询。